¿Para secuencias acotadas, la convergencia de las medias de Abel implica la convergencia de las medias de Cesàro?

Question

Ver el título. Esto es cierto si la secuencia es no negativa; algunos teoremas Tauberianos que pude encontrar dan algunas condiciones suficientes más generales. Me gustaría saber si esto es cierto para secuencias acotadas arbitrarias.

Recuerde que para una secuencia $(a_n)$ con índices naturales $n$, los medios Cesàro son $\frac1{N}\sum\limits_{n=1}^N a_n$, y los medios Abel son $(1-r)\sum\limits_n r^n a_n$.

Answer 1

Sí. Para los siguientes modos de convergencia, puedes demostrar $(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (4)$.

$$\begin{eqnarray} a_n &\to& a \qquad (1)\\ \sigma_n:={1\over n}\sum_{j=1}^{n} a_j &\to& a \qquad (2)\\ (1-r)\sum_{n=1}^\infty a_n r^n &\to& a\qquad (3)\\ (1-r)\sum_{n=1}^\infty \sigma_n r^n &\to& a\qquad (4) \end{eqnarray} $$

Si $a_n$ es una secuencia acotada entonces $(2)\Longleftrightarrow (3)$. Una dirección es $(2)\Rightarrow (3)$ y la otra se sigue del teorema tauberiano de Littlewood ($(4)\Rightarrow (2)$) ya que $\sigma_{n+1}-\sigma_n$ es de orden $O(1/n)$.

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Referencia. Para más información y dos demostraciones del teorema "de Abel a Cesàro", ve el Capítulo 1, secciones 7, 11 y 12 de Teoría Tauberiana: Un siglo de desarrollo por Jacob Korevaar.