Poderes naturales
Generalmente definimos número natural poderes. Esto funciona en cualquier estructura con la multiplicación.
$x^0 = 1$ real $x$.
$x^{n+1} = x^n x$ real $x$ natural y número de $n$.
Potencias enteras
A continuación, definimos potencias enteras. Esto funciona para todos los elementos con el inverso multiplicativo. Para los números reales cada elemento tiene un inverso multiplicativo con la excepción de $0$.
$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ real $x \ne 0$ natural y número de $n$.
Poderes racionales
A continuación, definimos $n$-th raíces. Esto es donde empieza a ser peludo, porque hay dos naturales (y frecuente) definiciones que son completamente incompatibles. Usted tiene que saber exactamente cuál es el utilizado en cualquier situación dada.
$\def\rr{\mathbb{R}}$
$\def\qq{\mathbb{Q}}$
$\def\zz{\mathbb{Z}}$
En esta respuesta yo sólo describir real de exponenciación.
$\sqrt[n]{x}$ es el número real $y > 0$ tal que $y^n = x$, para cualquier real $x > 0$, e incluso el entero $n > 0$.
$\sqrt[n]{x}$ es el único número real $y$ tal que $y^n = x$, para cualquier real $x > 0$ y un entero impar $n > 0$.
La primera es válida, porque se puede demostrar que $( t \mapsto t^n )$ es estrictamente creciente en a $\rr_{\ge 0}$ y su rango es de $\rr_{\ge 0}$.
La segunda es válida, porque se puede demostrar que $( t \mapsto t^n )$ es estrictamente creciente en a $\rr$ y su rango es de $\rr$.
Después de que nos definen poderes racionales.
$x^q = \sqrt[n]{x}^m$ real $x$ y racional $q$ donde $m,n$ son coprime enteros tales que $n > 0$$q = \frac{m}{n}$, y requerimos $x > 0$ si $n$ es incluso.
Tenga en cuenta que esto es válido porque en primer lugar se han definido los componentes anteriores, y en segundo lugar a cada número racional puede ser única escrito como la relación de coprime enteros con denominador positivo. Si esto no es exclusivo de nuestra definición es de sentido hasta que se demuestre lo contrario.
Ahora tenemos algunas propiedades básicas, los dos primeros de los cuales son probados por inducción. (No hay escape de la inducción!)
$x^m \le x^n$ real $x \ge 1$ y enteros $m,n$ tal que $m \le n$.
$x^m \ge x^n$ real $x$ tal que $0 < x \le 1$ y enteros $m,n$ tal que $m \le n$.
$x^q \le x^r$ real $x \ge 1$ y racional $q,r$ tal que $q \le r$.
$x^q \ge x^r$ real $x$ tal que $0 < x \le 1$ y racional $q,r$ tal que $q \le r$.
Poderes reales
Finalmente definimos real de exponenciación.
$x^y = \sup( \{ x^q : q \in \qq \land q \le y \} )$ real $x \ge 1$ y real $y \ge 0$.
$x^y = \sup( \{ x^q : q \in \qq \land q \ge y \} )$ real $x$ tal que $0 < x \le 1$ y real $y \ge 0$.
$x^{-y} = \frac{1}{x^y}$ real $x > 0$ y real $y \ge 0$.
Esto no es tan trivial, y para demostrar que es válido que tenemos que demostrar que el conjunto de los involucrados tiene un límite superior en $\rr$. Necesitamos:
$x^q \le x^{ceil(y)}$ real $x \ge 1$ y real $y$ y racional $q < y$ donde $ceil(y)$ es el entero más pequeño $z \ge y$.
$x^q \le x^{floor(y)}$ real $x$ tal que $0 < x \le 1$ y real $y$ y racional $q < y$ donde $floor(y)$ es el entero más grande $z \le y$.
Estos pueden ser comprobada mediante el uso de las mencionadas propiedades y considerar cuidadosamente todos los casos. Tenga en cuenta que poderes racionales de $x$ ya han sido definidos, por lo que este no es circular. El único ingrediente que falta (¿se nota?) es que fue no probado que $ceil$ $floor$ son válidamente definido. De hecho, para verificar que ellos, tenemos que usar el axioma de completitud de los números reales. Aquí es un boceto:
Si tenemos un real $y \ge 0$ tal que no es entero $z \ge y$, luego por el axioma de completitud $\zz$ tiene un supremum $s$, ya que contiene la $0$ y tiene un límite superior $y$$\rr$. Por la propiedad de supremum, ya $s-1 < s$ podemos encontrar un entero $k > s-1$ tal que $k \in \zz$. Pero, a continuación,$k+1 \in \zz$$k+1 > s$, contradiciendo la definición de $s$.
Por lo tanto, para cualquier real $y \ge 0$ tenemos algunos entero $z \ge y$. Y ahora vamos a utilizar la inducción para demostrar que existe un más pequeño de tales entero. Esto nos da $ceil(y)$. De la misma manera por $y \le 0$, y del mismo modo para $floor$.
Por lo tanto se realiza la definición real de poderes. Queda una gran cantidad de trabajo tedioso para demostrar que incluso las propiedades básicas de la real exponenciación.
Comentarios
Observe que no hemos de definir general de los poderes reales de la no-los números reales positivos, debido a que no existe un verdadero manera significativa a hacerlo.
Yo solía $ceil$ $floor$ para la facilidad de la lectura de la primera vez. Notación estándar es$\lceil x \rceil = ceil(x)$$\lfloor x \rfloor = floor(x)$.
Los detalles de todas las definiciones anteriores y de las pruebas debe ser cuidadosamente elaborado, y debe estar presente en cualquier decente real, análisis de libros de texto.