Cómo definir $x^a$ arbitrarias de los números reales $x$ $a$

Question

Preguntas como esta, en la que pide a solucionar $$x^{\frac43} = \frac{16}{81}$$

me confundan. La solución para el real $x$$\pm \frac8{27}$.

La pregunta sería, presumiblemente, ser un poco diferente para resolver

$$x^{\frac42} = \frac{16}{81}$$

Porque, por un lado $\frac42 = 2$ así que la respuesta es $\pm\sqrt{\frac{16}{81}} = \pm\frac49$.

Pero por otro lado, $x^{\frac{4}{2}} = x^{{\frac12}\cdot{4}}$ que, como una función de la $x$, no es igual a $(x^{\frac12})^4$.

Esto está muy bien, pero se plantea la pregunta, ¿cuál es la forma correcta de definir $x^{\frac{4}{3}}$? Hemos visto que no sólo arbitrariamente factor de la exponente y aplicar la regla de la multiplicación. Pero esa es la única manera que se me ocurre para definir a $x^{4/3}$ sin definir en primer lugar $x^a$ para todos los números reales, probablemente, por el camino de $\ln$.

Este tiende a subir de álgebra-precálculo y preguntas similares en el sitio. Podría ser más difícil de lo que parece a simple vista.

Más precisamente estoy preguntando cómo definir $x^a$ general real $x$ $a$ como sea posible, en el contexto de precálculo, o cómo definir en cualquier nivel de matemáticas y adaptarlo a un precálculo o, al menos, $\mathbb R$ concepto.

Answer 1

Vamos a empezar con exponentes racionales, y tomar como punto de partida el hecho de que $$ x^a\cdot x^b = x^{a+b} $$ OK, ahora mira lo que dice acerca de la $x^{\frac{1}{q}}$ con entero $q$: $$ x^{\frac{1}{q}} \cdot x^{\frac{1}{q}} \cdot \cdots \cdot x^{\frac{1}{q}} \text{ (factores q) } = x^{q\cdot \frac1q}=x $$ De modo que las fuerzas de $$x^{\frac{1}{q}} = \sqrt[q]{x}$$ Y entonces podríamos multiplicar un número arbitrario $p$ factores de $x^{\frac{1}{q}}$ encontrar $$x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}$$ Ahora si $q$ es incluso y $p$ es impar, esto no funciona para el negativo $x$, y vamos a decir que el trabajo dentro de los reales) $(-|x|)^{\frac{2k+1}{2m}}$ es indefinido.

Ahora, teniendo en $x>0$, podemos definir a la $x^r$ $r\in\Bbb{R}$ utilizando sólo los conceptos de $\sup$ (mínimo número que no es menor que la de cualquier miembro de un conjunto) o $\inf$ ((número máximo que no es mayor que la de cualquier miembro de un conjunto):

$$x^r = \sup\left( \{ x^{\frac{p}{q}} : p,q \in \Bbb{Z}^+ \wedge \frac{p}{q} \leq r \} \right) $$

Answer 2

Hay un interesante camino para la definición de competencias con el real exponentes que sólo utiliza el logaritmo y la exponencial. El logaritmo puede ser definido, por $x>0$, por $$ \log x=\int_{1}^x \frac{1}{t}\,dt $$ y es un ejercicio fácil mostrar que, para $x,y>0$, $$ \log(xy)=\log x+\log y $$ Por un fácil de inducción, se puede observar que, para un entero no negativo $n$$x>0$, $$ \log(x^n)=n\log x, $$ y esto puede ser fácilmente extendido para cualquier entero $n$: si $n<0$, $$ 0=\log 1=\log(x^nx^{-n})=\log(x^n)+\log(x^{-n})= \log(x^n)+(-n)\log x $$ así, obtenemos $\log(x^n)=n\log x$.

Por otra parte $\log$ es un aumento de la función derivable con $$ \lim_{x\to\infty}\log x=\infty,\qquad \lim_{x\to0}\log x=-\infty $$ por lo que su función inversa $\exp$ está definida en toda la recta real, teniendo en cada valor positivo.

La principal propiedad de $\exp$ es, por supuesto, $\exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y$ (es el mismo que el de la propiedad del logaritmo).

Ahora queremos definir, para $a>0$, en función de la $f_a$ tal que, para un entero $n$, $$ f_a(n)=a^n $$ Es muy fácil: $$ f_a(x)=\exp(x\log a) $$ De hecho, si $n$ es un entero, $$ f_a(n)=\exp(n\log a)=\exp(\log(a^n))=a^n $$

Tenga en cuenta que \begin{align} f_a(x+y) &=\exp\bigl((x+y)\log a\bigr)\\ &=\exp(x\log a+y\log a)\\ &=\exp(x\log a)\exp(y\log a)\\ &=f_a(x)f_a(y) \end{align}

¿Qué acerca de la $f_a(m/n)$ donde $m$ $n$ son enteros, con $n>0$? Tenemos $$ a^m=f_a(m)=f_a\left(n\frac{m}{n}\right)=(f_a(m/n))^n $$ así que tiene sentido para definir $$ a^{m/n}=f_a(m/n) $$ En particular, $a^{1/2}=\sqrt{a}$ y lo mismo para las otras raíces. Tenga en cuenta que hemos deducido de las raíces de la logaritmo: no era necesario definir con antelación. (En realidad, en los fundamentos de los números reales, la raíz cuadrada es necesario, con el fin de demostrar la singularidad de que el número real del sistema.)

Ahora debemos hacer el último paso y establecer $a^x=f_a(x)$, que no es ambiguo cuando se $x$ es un número entero.

Lo $e$? Simple: $e=\exp1$. Desde $\log'1=1$ por el teorema fundamental del cálculo, tenemos $$ \lim_{t\to0^+}\frac{\log(1+t)}{t}=1 $$ y así también $$ 1=\lim_{x\to\infty}x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)= \lim_{x\to\infty}\log\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\!x} $$ de la que podemos deducir, mediante la aplicación de $\exp$, $$ e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\!x} $$

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Uno podría extender a bases negativas cuando el exponente es racional y, cuando se reduce al mínimo, ha denominador impar; si $p$ $q$ son enteros, con $q>0$ e impar, conjunto $$ a^{p/q}=(a^p)^{1/q} $$ Nota, sin embargo, que uno tiene que ser muy cuidadoso en hacer operaciones algebraicas con exponentes racionales, si la base es permitido ser negativo.

Answer 3

Poderes naturales

Generalmente definimos número natural poderes. Esto funciona en cualquier estructura con la multiplicación.

$x^0 = 1$ real $x$.

$x^{n+1} = x^n x$ real $x$ natural y número de $n$.

Potencias enteras

A continuación, definimos potencias enteras. Esto funciona para todos los elementos con el inverso multiplicativo. Para los números reales cada elemento tiene un inverso multiplicativo con la excepción de $0$.

$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ real $x \ne 0$ natural y número de $n$.

Poderes racionales

A continuación, definimos $n$-th raíces. Esto es donde empieza a ser peludo, porque hay dos naturales (y frecuente) definiciones que son completamente incompatibles. Usted tiene que saber exactamente cuál es el utilizado en cualquier situación dada. $\def\rr{\mathbb{R}}$ $\def\qq{\mathbb{Q}}$ $\def\zz{\mathbb{Z}}$

En esta respuesta yo sólo describir real de exponenciación.

$\sqrt[n]{x}$ es el número real $y > 0$ tal que $y^n = x$, para cualquier real $x > 0$, e incluso el entero $n > 0$.

$\sqrt[n]{x}$ es el único número real $y$ tal que $y^n = x$, para cualquier real $x > 0$ y un entero impar $n > 0$.

La primera es válida, porque se puede demostrar que $( t \mapsto t^n )$ es estrictamente creciente en a $\rr_{\ge 0}$ y su rango es de $\rr_{\ge 0}$.

La segunda es válida, porque se puede demostrar que $( t \mapsto t^n )$ es estrictamente creciente en a $\rr$ y su rango es de $\rr$.

Después de que nos definen poderes racionales.

$x^q = \sqrt[n]{x}^m$ real $x$ y racional $q$ donde $m,n$ son coprime enteros tales que $n > 0$$q = \frac{m}{n}$, y requerimos $x > 0$ si $n$ es incluso.

Tenga en cuenta que esto es válido porque en primer lugar se han definido los componentes anteriores, y en segundo lugar a cada número racional puede ser única escrito como la relación de coprime enteros con denominador positivo. Si esto no es exclusivo de nuestra definición es de sentido hasta que se demuestre lo contrario.

Ahora tenemos algunas propiedades básicas, los dos primeros de los cuales son probados por inducción. (No hay escape de la inducción!)

$x^m \le x^n$ real $x \ge 1$ y enteros $m,n$ tal que $m \le n$.

$x^m \ge x^n$ real $x$ tal que $0 < x \le 1$ y enteros $m,n$ tal que $m \le n$.

$x^q \le x^r$ real $x \ge 1$ y racional $q,r$ tal que $q \le r$.

$x^q \ge x^r$ real $x$ tal que $0 < x \le 1$ y racional $q,r$ tal que $q \le r$.

Poderes reales

Finalmente definimos real de exponenciación.

$x^y = \sup( \{ x^q : q \in \qq \land q \le y \} )$ real $x \ge 1$ y real $y \ge 0$.

$x^y = \sup( \{ x^q : q \in \qq \land q \ge y \} )$ real $x$ tal que $0 < x \le 1$ y real $y \ge 0$.

$x^{-y} = \frac{1}{x^y}$ real $x > 0$ y real $y \ge 0$.

Esto no es tan trivial, y para demostrar que es válido que tenemos que demostrar que el conjunto de los involucrados tiene un límite superior en $\rr$. Necesitamos:

$x^q \le x^{ceil(y)}$ real $x \ge 1$ y real $y$ y racional $q < y$ donde $ceil(y)$ es el entero más pequeño $z \ge y$.

$x^q \le x^{floor(y)}$ real $x$ tal que $0 < x \le 1$ y real $y$ y racional $q < y$ donde $floor(y)$ es el entero más grande $z \le y$.

Estos pueden ser comprobada mediante el uso de las mencionadas propiedades y considerar cuidadosamente todos los casos. Tenga en cuenta que poderes racionales de $x$ ya han sido definidos, por lo que este no es circular. El único ingrediente que falta (¿se nota?) es que fue no probado que $ceil$ $floor$ son válidamente definido. De hecho, para verificar que ellos, tenemos que usar el axioma de completitud de los números reales. Aquí es un boceto:

Si tenemos un real $y \ge 0$ tal que no es entero $z \ge y$, luego por el axioma de completitud $\zz$ tiene un supremum $s$, ya que contiene la $0$ y tiene un límite superior $y$$\rr$. Por la propiedad de supremum, ya $s-1 < s$ podemos encontrar un entero $k > s-1$ tal que $k \in \zz$. Pero, a continuación,$k+1 \in \zz$$k+1 > s$, contradiciendo la definición de $s$.

Por lo tanto, para cualquier real $y \ge 0$ tenemos algunos entero $z \ge y$. Y ahora vamos a utilizar la inducción para demostrar que existe un más pequeño de tales entero. Esto nos da $ceil(y)$. De la misma manera por $y \le 0$, y del mismo modo para $floor$.

Por lo tanto se realiza la definición real de poderes. Queda una gran cantidad de trabajo tedioso para demostrar que incluso las propiedades básicas de la real exponenciación.

Comentarios

Observe que no hemos de definir general de los poderes reales de la no-los números reales positivos, debido a que no existe un verdadero manera significativa a hacerlo.

Yo solía $ceil$ $floor$ para la facilidad de la lectura de la primera vez. Notación estándar es$\lceil x \rceil = ceil(x)$$\lfloor x \rfloor = floor(x)$.

Los detalles de todas las definiciones anteriores y de las pruebas debe ser cuidadosamente elaborado, y debe estar presente en cualquier decente real, análisis de libros de texto.

Answer 4

Aquí hay una posible definición en el precálculo de nivel, que se basa en un teorema no voy a probar.

Deje $a > 0$. Entonces existe una única función de $f_a \colon \mathbb{R} \to (0,+\infty)$ que satisface las tres condiciones siguientes:

• $f_a(1) = a$;
• $f_a(x+y) = f_a(x) f_a(y)$ todos los $x, y \in \mathbb{R}$;
• $f_a$ es monótona (es decir, monótona creciente o decreciente).

Definimos $a^x = f_a(x)$.

Una posible prueba (no en el de precálculo a nivel) es de observar que los $(\mathbb{R},+)$ $((0,+\infty),\times)$ son por completo de Arquímedes grupos. Por lo tanto, si $a > 1$, no hay una única orden de isomorfismo $f_a$ entre ellos en virtud de la cual $1$ corresponde a $a$. Para $0 < a < 1$, escribir $f_a(x) = f_{1/a}(-x)$.