Núcleo simétrico del producto tensorial

Question

Dejemos que $V,W$ sean dos espacios vectoriales reales, y sea $L_i:V\rightarrow W$ , $i=1,\ldots,n$ sea $n$ mapas lineales con núcleos distintos $K_i$ de dimensión $1$ .

Consideremos el producto tensorial de estos mapas $L_1\otimes \ldots \otimes L_n: V\otimes \ldots \otimes V \rightarrow W \otimes \ldots \otimes W$ . Sea K el núcleo de este mapa, y sea $S^n(V)$ sea el espacio de los tensores simétricos de orden n.

¿Cómo puedo demostrar que $K \cap S^n(V) = Span\{K_i \otimes \ldots \otimes K_i , i=1,...n\}$ ?

Gracias.

Answer 1

Puedo demostrar la igualdad bajo una suposición más fuerte:

Los granos $K_i$ están en suma directa dentro de $V$ .

Con esta suposición, hay una base $\{v_1, \ldots, v_n, v_{n+1}, \ldots, v_d\}$ de $V$ tal que para $i=1,\ldots, n$ tenemos $v_i\in K_i$ . El núcleo $K$ es igual a $K_1\otimes V\otimes \cdots \otimes V + V\otimes K_2\otimes \cdots \otimes V + \ldots + V\otimes \cdots \otimes V\otimes K_n$ (esto se puede ver utilizando la inducción y esta respuesta ). Esto significa que una base de $K$ es $$\{ v_{i_1} \otimes \cdots \otimes v_{i_n} \ | \ i_j = j \text{ for some } j \}.$$

Ahora, dejemos que $x$ sea un elemento de $K\cap S^n(V)$ . Por lo anterior, $x$ tiene la forma $$x=\sum\lambda_{i_1, \ldots, i_n}v_{i_1} \otimes \cdots \otimes v_{i_n},$$ donde $\lambda_{i_1, \ldots, i_n}$ es distinto de cero sólo si $i_j=j$ para algunos $j$ . La afirmación es que $\lambda_{i_1, \ldots, i_n}$ es distinto de cero sólo si $i_1=\ldots = i_n$ .

Desde $x\in S^n(V)$ para cualquier permutación $\sigma$ tenemos que $\lambda_{i_1, \ldots, i_n} = \lambda_{i_{\sigma(1)}, \ldots, i_{\sigma(n)}}$ . Supongamos que $\lambda_{i_1, \ldots, i_n}$ es distinto de cero, y que $J=\{j \ | \ i_j = j \}$ . Por lo anterior, $J$ no está vacío. Si $J$ contenido $2$ elementos o más, entonces cualquier permutación $\sigma$ fijar los elementos que no están en $J$ y la fijación de ningún elemento en $J$ sería tal que $\sigma(i_k)\neq k$ para todos $k$ Así que $\lambda_{i_{\sigma(1)}, \ldots, i_{\sigma(n)}}=0$ , una contradicción. Por lo tanto, $J$ contiene exactamente un elemento, por ejemplo $j$ . Entonces, aplicando cualquier transposición de la forma $\sigma=(k,j)$ , obtenemos que $\lambda_{i_{\sigma(1)}, \ldots, i_{\sigma(n)}}$ es distinto de cero. Esto implica que $i_{k} = i_{\sigma(j)} = j$ . Como esto es cierto para todos los $k$ , obtenemos que $\lambda_{i_1, \ldots, i_n} = \lambda_{j,\ldots, j}$ . Esto demuestra la afirmación.