¡El logaritmo no es lineal! ¿O no lo es?

Question

El logaritmo es no lineal

Casi sin excepción, oigo a la gente decir que el logaritmo era un no lineal función. Si se les pide que prueben esto, a menudo hacen algo así:

Tenemos $$ \ln (x + y) \neq \ln (x) + \ln (y) \quad\text {and} \quad \ln ( \lambda \cdot x) = \ln ( \lambda ) + \ln (x) \neq \lambda \cdot \ln (x), $$ y por lo tanto $ \ln $ no es lineal.

Y de hecho, la literatura es abundante con la afirmación de que...

... una función $f : V \to W$ es lineal, si y sólo si $$ f(x + y) = f(x) + f(y) \quad\text {and} \quad f( \lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x) $$ para todos $x,y$ y todos los escalares $ \lambda $ .

A menudo, no hay indicios de que los símbolos $+$ y $ \cdot $ a la izquierda pertenecen a $V$ mientras que los símbolos $+$ y el $ \cdot $ a la derecha pertenecen a $W$ .

El logaritmo es lineal

Mi prueba de que el logaritmo es un lineal la función va así:

$$ \ln (x \cdot y) = \ln (x) + \ln (y) \quad\text {and} \quad \ln (x^ \lambda ) = \lambda \cdot \ln (x).$$

La razón de esto es que $ \ln : \mathbb {R}_{>0} \to \mathbb {R}$ es decir, el logaritmo es una función de la $ \mathbb {R}$ -espacio vectorial $ \mathbb {R}_{>0}$ (los números reales positivos), a la $ \mathbb {R}$ -espacio vectorial $ \mathbb {R}$ (los números reales). Adición de vectores en $ \mathbb {R}_{>0}$ no es, sin embargo, la habitual suma, sino la multiplicación. De la misma manera, multiplicación escalar en $ \mathbb {R}_{>0}$ no es la multiplicación habitual, sino la potenciación.

De hecho, la definición de linealidad de la álgebra lineal es (por ejemplo. Ricardo, 2009 ; Bowen y Wang, 1976 ):

Una función $f : V \to W$ desde un espacio de vectores $(V, \oplus , \odot )$ sobre un campo $F$ a un espacio vectorial $(W, \boxplus , \boxdot )$ sobre $F$ es lineal si y sólo si satisface $$ f(x \oplus y) = f(x) \boxplus f(y) \quad\text {and} \quad f( \lambda \odot x) = \lambda \boxdot f(x) $$ para todos $x,y \in V$ y $ \lambda \in F$ .

Otra prueba es la siguiente:

El logaritmo es un isomorfismo entre el espacio vectorial de los números reales positivos y el espacio vectorial de los números reales. Y como cada isomorfismo es una función lineal, también lo es el logaritmo.

Pregunta

Tenemos dos declaraciones contradictorias aquí:

1. El logaritmo es no lineal.
2. El logaritmo es lineal.

¿Pueden ser correctas ambas declaraciones simultáneamente, dependiendo de algo que no puedo imaginar ahora? ¿Pero no implicaría esto también que existen dos conceptos conflictivos de linealidad?

¿O se trata de un caso de notación descuidada, por ejemplo, el abuso del mismo símbolo $+$ para la adición de vectores o $ \cdot $ para la multiplicación escalar aunque se trate de dos espacios vectoriales diferentes?

Actualización

Las soluciones dadas para rescatar la primera declaración no me han convencido todavía, porque son inconsistentes:

• Utilizando la habitual suma y multiplicación en $ \mathbb {R}_{>0}$ implica que $( \mathbb {R}_{>0},+, \cdot )$ ya no es un espacio vectorial. Pero una condición previa de la prueba de linealidad es que el dominio y el rango de $f$ son espacios vectoriales.
• Permitiendo el dominio de $ \ln $ para ser $ \mathbb {R}$ con la habitual suma y multiplicación en lugar de $ \mathbb {R}_{>0}$ no funciona, porque entonces la imagen de $ \ln $ es el conjunto de números complejos.
• Una definición matemáticamente consistente de "linealidad" para subconjuntos (pero no subespacios) de un espacio vectorial se dio en un comentario de @Alex G. Let $S$ ser un subconjunto arbitrario de un espacio vectorial real $V$ y dejar que $W$ ser un verdadero espacio vectorial. Una función $f : S \to W$ se llama "lineal" si para todos $x,y \in S$ de tal manera que $x+y \in S$ Entonces $f(x+y) = f(x)+f(y)$ y para todos $x \in S$ , $k \in \mathbb {R}$ de tal manera que $kx \in S$ Entonces $f(kx)=k⋅f(x)$ . Sin embargo, esta definición no es lo que se entiende por el concepto de linealidad que proviene del álgebra lineal. Uno tendría que usar otro término para "linealidad" aquí.

Answer 1

Tienes razón si dotamos $\Bbb R_{> 0}$ con la extraña estructura del espacio vectorial en el que la "suma" viene dada por la multiplicación habitual, y la "multiplicación escalar" viene dada por la exponenciación. Cuando la gente dice que los logaritmos no son lineales, suele pensar en dar $\Bbb R$ la estructura habitual del espacio vectorial, y entendiendo esto, entonces los logaritmos realmente no son lineales.

La conclusión es que la afirmación "el logaritmo es lineal" depende de la estructura del espacio vectorial que tengas en mente. Con tu extraña estructura de espacio vectorial, esto es cierto. Con la habitual, esto es falso.

Answer 2

vale la pena señalar que con su argumento, ¡cualquier biyección es lineal!

Tenemos un conjunto $X$ y un espacio vectorial $Y$ . Tenemos una biyección $$ f: X \to Y. $$

Simplemente definimos las operaciones $$ x+y = f^{-1}(f(x) + f(y)), \;\;\; \lambda x = f^{-1}(\lambda(f(x)). $$ Ahora $f$ es lineal.

La cuestión es que cuando decimos $f: V \to W$ es lineal, generalmente ya tenemos estructuras lineales en $V$ y $W$ que no se definen en términos de $f.$

Answer 3

La primera declaración que tiene es:

El logaritmo no es la restricción del mapa lineal $(\mathbb R,+)\rightarrow (\mathbb R,+)$ a $\mathbb R_{>0}$ .

El segundo que tienes es:

El logaritmo es un mapa lineal $(\mathbb R_{>0},\cdot)\rightarrow(\mathbb R,+)$ .

No veo ninguna contradicción en ello. Ciertamente, $f(xy)=f(x)+f(y)$ no implica $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y tampoco la segunda implica la primera, por lo que las afirmaciones no están relacionadas (y ambas son ciertas). No es que obtengamos mágicamente una contradicción cuando nos referimos a esas dos ecuaciones como condición de linealidad. Llamamos al logaritmo "no lineal" porque la primera afirmación se refiere a la estructura canónica del espacio vectorial en $\mathbb R$ que es lo que suponemos si no se especifica nada.

También es digno de mención que, si estamos considerando el logaritmo, probablemente lo estemos considerando como un mapa en una sola estructura con suma y multiplicación, en lugar de un mapa entre dos estructuras separadas; la identidad $\log(xy)=\log(x)+\log(y)$ relaciona la multiplicación con la suma, lo que sólo es especialmente destacable cuando hemos definido ambas cosas de forma sensata (como en un anillo o campo).

Answer 4

Voy a trabajar en esto, tratando de justificar todo lo que hago al detalle. Lo que voy a terminar probablemente será algo así como un resumen de las otras respuestas y el enunciado de la pregunta, pero se hace con la esperanza de que nada en absoluto "incompleta" aparece en los argumentos.

• La definición fundamental. Una función $f:(V,+,\cdot)\to(W,\oplus,\odot)$ de espacios vectoriales, ambos sobre un campo $K$ se dice que es lineal si, para todo $x,y\in V$ y $\lambda\in K$ tenemos $$f(x+y)=f(x)\oplus f(y)\qquad f(\lambda\cdot x)=\lambda\odot f(x).$$

• Nuestros espacios vectoriales. Denotaremos por $\mathbb R^+$ el espacio vectorial $(\mathbb R,+,\cdot)$ sobre el campo $\mathbb R$ , donde $+,\cdot$ se supone que son las operaciones habituales en $\mathbb R$ . Se trata de un espacio vectorial. Denotaremos por $\mathbb R^\times$ el espacio vectorial $(\mathbb R_{>0},\oplus,\odot)$ en $\mathbb R$ donde por definición $x\oplus y=x\cdot y$ y $\lambda\odot x=x^\lambda$ con los cuantificadores universales del punto 1. Este es también un espacio vectorial.

• Linealidad en subconjuntos generales. La única forma canónica de pensar siquiera potencialmente en definir la linealidad de una función $f:S\to(W,\oplus,\odot)$ donde $S$ es un subconjunto del espacio subyacente del espacio vectorial $(V,+,\cdot)$ (en todo $K$ ) es simplemente generalizar y utilizar la definición de AlexG. Para citar: Una función $f:S\to W$ se llama lineal si para todo $x,y\in S$ tal que $x+y\in S$ entonces $f(x+y)=f(x)\oplus f(y)$ y para todos $x\in S$ , $k\in\mathbb R$ tal que $k\cdot x\in S$ entonces $f(k\cdot x)=k\odot f(x)$ . Sin embargo, esta noción no es, por desgracia, muy útil: en efecto, como en otro comentario podemos considerar una traslación horizontal del $y$ -eje en $\mathbb R^2$ . Es fácil comprobar que toda función de este subconjunto a cualquier espacio vectorial es lineal vacía, lo que es bastante indeseable. Por eso, en general, reservamos la noción de linealidad para los dominios lineales. (¡Los matemáticos sabían lo que hacían cuando se desarrolló el álgebra lineal!) La conclusión es que la linealidad no es definible de forma natural en subconjuntos no subespaciales de un espacio vectorial, y por tanto descartamos la noción (por ser matemáticamente consistente, signifique lo que signifique, como lo es).

• El logaritmo. El rango del logaritmo depende, en general, del dominio que elijamos. Tenemos esencialmente dos opciones: o bien tomar nuestro dominio como $\mathbb R_{>0}$ en cuyo caso el rango es $\mathbb R$ o tomar nuestro dominio para ser $\mathbb R$ en cuyo caso el rango es $\mathbb C$ . Para los fines de esta discusión, trabajamos enteramente en números reales (o subconjuntos de los números reales) y, por lo tanto, elegimos que el logaritmo es la función natural $\ln:\mathbb R_{>0}\to\mathbb R$ . Para todos los elementos $x,y\in\mathbb R_{>0}$ del dominio y $\lambda\in K=\mathbb R$ , el logaritmo satisface las relaciones $$\ln(x\oplus y)=\ln(x)+\ln(y)\qquad\ln(\lambda\odot x)=\lambda\cdot\ln(x)$$ donde $\oplus,\odot$ se definen en el punto 2, y $+,\cdot$ son las operaciones naturales sobre $\mathbb R$ .

• "El logaritmo no es lineal". El logaritmo ni siquiera es una función $\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ de los espacios vectoriales (por el último punto), por lo que trivialmente no es una función lineal. Además, incluso bajo la linealidad del subconjunto (una definición patológica e innecesaria), es no lineal por la primera prueba en su puesto como una función $\mathbb R_{>0}\to\mathbb R^+$ para $\mathbb R_{>0}$ visto como un subconjunto del espacio vectorial $\mathbb R^+$ . Esto, formal o informalmente, es la verdad detrás de la "no linealidad del logaritmo".

• "El logaritmo es lineal". Por tu segunda prueba, el logaritmo es una función lineal de espacios vectoriales $\ln:\mathbb R^\times\to\mathbb R^+$ en $\mathbb R$ . Este es un noción distinta de linealidad y no hay ni una notación descuidada ni una contradicción.

Esta respuesta, como las anteriores, es probablemente incompleta. Sin embargo, espero haber demostrado al menos en cierta medida que no surgen contradicciones.

Answer 5

Tienes razón, $\ln$ es lineal para esta estructura de espacio vectorial en $\mathbb{R}_*^+$ (aunque no para la estructura habitual del espacio vectorial en $\mathbb R$ .

La cuestión es que esta estructura de espacio vectorial que has definido no tiene ningún interés real, por lo que la gente no la utiliza. De hecho, probablemente la mayoría de las funciones podrían convertirse en algo lineal para una estructura de espacio vectorial rara y hecha a medida, pero no tendría sentido.