Superficies en $\mathbb P^3$ que no contenga ninguna línea

Question

Dejemos que $d \geq 4$ . Me interesa saber si hay una superficie $S$ de grado $d$ en $\mathbb P^3_{\mathbb C}$ tal que $S$ no contiene una línea. Lo sé. No tengo ni idea de cómo hacerlo.

Answer 1

Este es el famoso teorema de Noether-Lefschetz. La respuesta es que para una superficie "muy general" de este tipo -es decir, alejada de una unión contable de subconjuntos cerrados adecuados en el espacio de parámetros de todas las superficies de grado-d- las únicas curvas algebraicas son intersecciones completas con otras superficies. En particular, no hay líneas, ni cónicas, etc. en tal superficie. Aunque esto es cierto en general, Mumford, en los años 60 o tal vez 70, planteó el reto de encontrar un ejemplo concreto de una superficie cuártica que no contuviera una recta, reto que no se ha conseguido hasta hace pocos años.

Answer 2

Creo que

$$f(x,y,z) = x^4-3 x y+x^2 z+z^3+y^2+5$$

ofrece un ejemplo de superficie en ${\mathbb A}^3$ que no contenga una línea en in ${\mathbb A}^3$ .

Sustituir $x=u_0 + t p_0$ , $y = v_0 + t q_0$ y $z = w_0 + t r_0$ en $f(x,y,z)$ . Recoger los coeficientes de las potencias de $t$ :

$$C_4 t^4 + C_3 t^3 + C_2 t^2 + C_1 t + C_0$$

donde el $C_i \in {\mathbb Q}[u_0,v_0,w_0,p_0,q_0,r_0]$

Ahora calcula tres bases de grobner de $\{C_i\}_{i=0..4} \cup \{h\}$ donde $h$ es $p_0 - 1$ , $q_0 - 1$ o $r_0 -1$ . Los tres se reducen al ideal unitario, demostrando que $V(f(x,y,z))$ no contiene una línea en ${\mathbb A}^3$ .