Ninguna de estas nociones de "k-espacio" equivalente si $X$ no se considera débilmente Hausdorff?

Question

Hay un moderno generalmente aceptados respuesta con respecto a las nociones de espacio k-o de forma compacta generado el espacio?

Por ejemplo, actualmente hay al menos 3 formalmente las nociones de espacio k en amplia circulación:

1. En Kelley de la Topología General, $X$ es un k-espacio si por $S \subseteq X$ no se cierra en $X$ no está cerrado, compacto subespacio $C \subseteq X$ tal que $C \cap S$ no está cerrado en $X$.

   (Esta noción de espacio k-también aparece en A. Wilansky del _Between T₁ y T₂ (Amer. De matemáticas. Mensual, vol.74, no.3, pp 261-266).)

2. De acuerdo a nLab, $X$ es un k-espacio si siempre $S \subseteq X$ no está cerrado en $X$, existe un compacto Hausdorff espacio de $K$ y un mapa de la $f:K \to X$ de manera tal que la preimagen de $S$ no es compacto.

   Esto es equivalente a $X$ ser generado de forma compacta (CG) de Neil Strickland nota de La categoría de CGWH espacios.

3. Wikipedia declara que $X$ es un k-espacio (o una compacta generado el espacio) a condición de que siempre que $S \subseteq X$ no está cerrado en $X$, entonces existe un subespacio compacto $C$$X$, de tal manera que la intersección de a $C$ $S$ no es compacto.

Ninguna de las definiciones de 1,2,3 equivalente si $X$ no está débilmente Hausdorff?

Answer 1

Creo que la definición de Wikipedia no es la mejor, ya que no se manejar muy bien con el no-Hausdorff caso, y un cociente de un espacio de Hausdorff no necesita ser Hausdorff. Este es el tipo de relación con la cuestión de si localmente compacto significa que cada punto tiene un pacto de vecindad, o tiene una base de compacto barrios. Este último concepto es más en sintonía con la noción de un local de propiedad.

Una discusión general de "Monoidal categorías cerradas de espacios" está en un papel por el Stand y Tillotson (Pacífico J Matemáticas, vol 88) disponible aquí.

Sección 5.9 de mi libro de Topología y groupoids (como en el de 1988 de manera diferente titulado edition) tiene el siguiente resultado:

5.9.1 Deje $X$ ser un espacio. A continuación, los siguientes son equivalentes:

(a) $X$ $k$- espacio;

(b) hay un conjunto de $\mathcal C_{X}$ de los mapas de $t : C_{t} \to X$ compacto Hausdorff espacios de $C_t$ de manera tal que un conjunto $A$ es cerrado en $X$ si y sólo si $t^{-1}(A)$ es cerrado en $C_{t}$ todos los $t \in \mathcal C_{X}$;

(c) $X$ es un espacio de identificación de un espacio que es una suma de compacto de Hausdorff espacios.

De modo que el n-lab definición está de acuerdo con esto. Tenga en cuenta que esta Sección también se considera conveniente la categoría de $k$-funciones continuas, utilizando el test de abrir la topología en espacios de k-continuo mapas.

En realidad la idea de fibred exponencial de las leyes (es decir, una cierta noción de local cartesiana cerrada) proviene de un papel de Thom en "Homologie des espaces functionels", pero los detalles eran vagos, y fueron desarrollados por Peter Stand.