¿Cuál es la consistencia de la fuerza de "ancho de reflexión"?

Question

Un montón de gente va a estar familiarizado con la de segundo orden según la afirmación de que ciertas propiedades se reflejan a $V_\alpha$. Por un segundo orden de la fórmula $\phi$, el parámetro $A$, y la relativización de los cuantificadores y los parámetros a $V_\alpha$, podemos tener:

$\phi(A) \rightarrow \exists \alpha V_\alpha \models \phi^{V_\alpha} (A^{V_\alpha})$

Esto da lugar a un montón de pequeños grandes cardenales (por ejemplo, inaccesible, Mahlo, etc.).

Ahora hay algunos 'de ancho como la reflexión de los principios, por ejemplo, Friedman Interior del Modelo de Hipótesis. Para el primer orden de $\phi$ decimos:

"Si $\phi$ que es verdad en su interior, una modelo de $I^{V*}$ de exterior modelo $V*$$V$, $\phi$ que es verdad en su interior, una modelo de $I^V$$V$"

Este principio tiene sorprendentemente alta consistencia de la fuerza (la prueba muestra que es uniforme en relación a la existencia de un Woodin cardenal con un inaccesibles arriba). Aquí, sin embargo, existen importantes metamathematical problemas (para uno, usted tiene que extensiones de código si usted piensa que hay un "verdadero" $V$).

Por todo esto, estoy preguntando acerca de los siguientes (mayor que la de primer orden) principio (de primer orden $\phi$ con/sin parámetros—estoy interesado en ambos):

"Si $\phi$ que es verdad en $V$, $\phi$ que es verdad en un adecuado interior modelo de $V$."

Supongo que esto es increíblemente débil o inconsistente. Supongo que con más confianza que el primero (que sin duda puede llegar a $V\not=L$ fuera de él, sólo por el hecho de que se obtiene un adecuado interior del modelo), pero sin más información acerca de lo que se sostiene en $V$ usted simplemente no sé qué más (de ahí la razón por la fuerza de las moscas, una vez que tenemos las extensiones).

EDIT: Añadido después de que Joel Hamkins' muy bonita respuesta: yo también estoy interesado en las consecuencias de este principio, así como la absoluta coherencia de la fuerza. Estoy bastante seguro de que una ligera modificación de su prueba demuestra que, aparte de la $V\not=L$ y la existencia de una infinidad de interior modelos, no hay mucho (mediante la ejecución de algo similar a la Hamkins argumento de abajo, supongo que podemos organizar un montón de posibilidades para $V$ con un adecuado forzar).

Answer 1

Después de una generalización de Andrés idea de mayor cardenales, yo reclamo de que su ancho de reflexión principio es equiconsistent con ZFC, incluso cuando los parámetros son permitidos en el esquema.

Para ver esto, empezar con cualquier modelo de $V\models\newcommand\ZFC{\text{ZFC}}\ZFC+\text{GCH}$, y, a continuación, realizar la clase adecuada obligando a $\mathbb{P}$, que es el Easton producto de la obligando a añadir una Cohen subconjunto a cada cardenal. Yo reclamo que el resultado de forzar la extensión de $V[G]$ satisface su ancho de reflexión principio, incluso con diferentes parámetros.

Para ver esto, supongamos que $\varphi(a)$ que es verdad en $V[G]$ donde $a\in V[G]$. Corrección de un nombre de $\dot a$$a$, y deje $p$ ser una condición obligando a $\varphi(\dot a)$. Deje $\theta$ regular cardenal bastante grande que está por encima del soporte de $p$ y por encima del soporte de cualquier condición que aparezca en $\dot a$. Desde la obligando a coordinar $\theta$ es la adición de un subconjunto de a $\theta$, podemos ver como la adición de dos y, a continuación, deje $G^-$ ser el filtro genérico obtenido mediante la eliminación de uno de esos factores. Pero la eliminación de un factor que da lugar a obligar a que es isomorfo a $\mathbb{P}$ más, y por lo $G^-$ puede ser visto como $V$-genérico para $\mathbb{P}$. Desde $\theta$ estaba por encima de $p$$\dot a$, todavía tenemos $\varphi(a)$ ser fiel en $V[G^-]$, que es estrictamente una interior más pequeño modelo, pero todavía contiene el objeto $a$. Así que este cumple con el ancho de reflexión, como se desee.

Answer 2

Sobre Jonas comentario: Que propuso el fortalecimiento del principio original de la siguiente manera a partir de la maximality principio (diciendo que si la phi es la fuerza necesaria, entonces es cierto). Es decir, si la phi es cierto en V, entonces después no trivial forzar, es necesariamente cierto en un terreno apropiado. Así que la declaración "phi es cierto en un terreno apropiado" es la fuerza necesaria, por lo tanto fieles en V por el maximality principio. Así que phi es cierto en un terreno apropiado. Todo esto refiere al parámetro de la versión gratuita. Y la fuerza de la lightface maximality principio es también acaba de ZFC.