Supongamos que deseamos resolver $3^x=10$. Puedo convertir a forma logarítmica $$\log_{3}10=x$$ a continuación, cambiar las bases $$\frac{\log10}{\log3}=x$$ y esto va a producir la misma respuesta que si yo había escrito $$\frac{\ln10}{\ln3}=x$$ Pero de registro y ln tienen diferentes bases. ¿Por qué esto funciona en ambas direcciones?
Respuestas
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Usted puede usar cualquier base: la igualdad de $3^x=10$ es equivalente a $$ \log_a 3^x=\log_a 10 $$ para cualquier $a>0$, $a\ne1$. Desde $\log_a 3^x=x\log_a 3$, obtenemos $$ x=\frac{\log_a 10}{\log_a 3} $$ así que usted puede ver que el resultado final es independiente de la base.
Usted puede conseguir el cambio de base de la fórmula mediante la consideración de $b^c=k$ que dice $c=\log_b k$; pero también tenemos $c\log_a b=\log_a k$ y por lo tanto $$ \log_b k=\frac{\log_a k}{\log_a b} $$ En el caso de $b=3$, $k=10$ y $a=e$, se obtiene $$ \log_3 10=\frac{\ln 10}{\ln 3} $$
David K
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Posiblemente la mejor manera de ver esto es para escribir un cambio en una base arbitraria en lugar de elegir cualquiera de las $\log_{10}$ o $\ln$ inicialmente. (Ya hay una respuesta que lo hace.) Pero creo que es también de destacar que el cambio de base de la fórmula en sí proporciona un fácil derivación del hecho de que $$\frac{\log10}{\log3}=\frac{\ln10}{\ln3}.$$
Comenzando con $\frac{\ln10}{\ln3}$ (por ejemplo), basta con aplicar la fórmula para el cambio de la base de $e$ $10$en el numerador y el denominador: \begin{align} \ln10 &= \log_e 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} e}, \\ \ln3 &= \log_e 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} e}, \\ \frac{\ln10}{\ln3} &= \frac{\left( \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} e} \right)} {\left(\frac{\log_{10} 3}{\log_{10} e} \right)} \end{align} Multiplicar el numerador y el denominador del lado derecho de la última ecuación por $log_{10} e$, y nos encontramos con que $$\frac{\ln10}{\ln3} = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 3} $$
En otras palabras, cada vez que cambio de la base de que tanto el numerador y el el denominador de la base de la $b$ base $c$ al mismo tiempo, nosotros divide el numerador y el denominador por $\log_c b$, y estas dos operaciones se cancelan uno al otro.
Foobaz John
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En su pregunta, tenga en cuenta que la definición de logaritmo implica que $$\log_310=x \iff 3^x=10 \tag 1.$$ In general $$\log_bw=x \iff b ^x=w \tag 2$$ donde $b>0, b\neq 1$.
Ahora toma el logaritmo de ambos lados a alguna base $c>0$, $c\neq 1$ y utilice el hecho de que $\log_c(b^x)=x\log_cb $ a conseguir ese $$x\log_cb=\log_cw\implies x=\frac{\log_cw}{\log_cb}.\tag 3$$ Ecuaciones $(2)$ $(3)$ implica que$$\log_bw=\frac{\log_cw}{\log_cb}. \tag 4$$ Tome $c=10$ $c=e$ en la ecuación de $(4)$ a conseguir la igualdad de $$\log_{3}10=\frac{\log_{10}10}{\log_{10}3}=\frac{\ln10}{\ln3}. \tag 5$$
