Es este módulo libre?

Question

Recientemente, yo estaba tratando de entretenerme con la invención de la inusual ejemplos de módulos proyectivos, pero no gratis. Uno de los candidatos que se me ocurrió llevado a una pregunta que no sé cómo responder. Considere lo siguiente:

Deje $R$ ser el anillo de continuo con un valor real de las funciones definidas en $[-1,1]$. Deje $E\subseteq R$ el conjunto de incluso las funciones y deje $O\subseteq R$ el conjunto de funciones impares.

Desde $E$ es un sub-anillo de $R$, podemos ver $R$ $E$- módulo. A menos que me equivoco, $O$ $E$- submódulo de $R$ $R$ es isomorfo a $E \oplus_E O$.

Puedo mostrar que $O$ no $E$-módulo (la información a continuación), pero no puedo mostrar el mismo para $R$. Así que esa es mi pregunta: es $R$ libre $E$-módulo?

Aquí está mi argumento de por qué $O$ no $E$módulo de:

Primero que nada, aviso que no hay dos $f,g\in O$ puede ser linealmente independientes sobre $E$. Por si $f,g$ son impares, entonces $fg$ $-f^2$ son aún, y $(fg)f + (-f^2)g=0$.

Así que si $O$ eran libres, no existiría una sola $f\in O$ de manera tal que cualquier $g\in O$ puede escribirse de forma única como $g=hf$ donde $h\in E$. En particular, si $g(x)=x$ todos los $x$, podemos ver que $f(x)\neq 0$$x\neq 0$.

Desde $f$ es impar, por lo que es $f^{1/3}$. Por lo tanto, existe un continuo incluso, de la función $h$ tal que $f^{1/3}=hf$. Pero luego tenemos a $h(x)=\frac{1}{f(x)^{2/3}}$$x\neq 0$. Desde $f$ es impar, $f(0)=0$. Esto contradice el hecho de que $h$ es continua en a $0$.

Answer 1

Evaluación en $0$ da un surjective anillo homomorphism $e_0:E\to \mathbb{R}$. Escribir $m$ para el núcleo de $e_0$. Evaluación en $0$ también da una surjective homomorphism de $E$-módulos de $e_0':R\to \mathbb{R}=E/m$. Yo reclamo el núcleo de $e_0'$$mR$, lo que implica que $R\otimes_E E/m=R/mR$ rango $1$ $E/m$- módulo. Para ver esto, supongamos $f(x)$ está en el núcleo de $e_0'$, es decir,$f(0)=0$. Definir $$ \alpha(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2},\;\;\; \beta(x) = \left(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\right)^{1/3}\en R. $$ Compruebe que $\alpha$$\beta^2$$m$,$f=\alpha\cdot 1+\beta^2\cdot \beta$, por lo que el $f\in mR$.

Ahora, si $R$ es libre como un $E$-módulo, a continuación, $R$ debe tener rango de $1$. Esto es imposible, como $1$ $x$ son elementos de $R$ que $E$-linealmente independientes.