¿Existen funciones continuas para las que no se cumpla la propiedad épsilon-delta?

Question

La definición estándar de continuidad es la siguiente:

Una función es continua si $$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \text{s.t. } 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon $$

Puede parecer una tontería, pero ¿es cierto lo contrario? En otras palabras, ¿hay algún ejemplo de una función que sea continua, pero para la que no se cumpla esta propiedad? Creo recordar haber leído algo sobre que la función exponencial es un ejemplo de función continua para la que la implicación épsilon-delta es falsa, ya que se vuelve arbitrariamente empinada a medida que x se acerca al infinito, pero podría estar equivocado. Gracias.

Answer 1

La afirmación que has hecho es la definición de continuidad (en un espacio métrico, donde la noción de distancia o $|x-x_0|$ tiene sentido). Así que funciona en ambos sentidos: Si la función es continua, cumple la definición y si cumple la definición entonces es continua.

Te encuentras con la idea de que una función es "uniformemente continua". En la definición que has escrito, no se dice nada sobre si entonces la misma $\delta(\epsilon)$ puede funcionar independientemente del punto $x_0$ . Su ejemplo exponencial es efectivamente continuo, pero no es uniformemente continuo, porque $\delta$ tiene que depender tanto de $\epsilon$ et $x_0$ .

En cambio, una función como $\frac{x^3}{1+x^2}$ es uniformemente continua, porque para cualquier $\epsilon > 0$ puede encontrar un $\delta$ tal que esa condición definitoria se cumple para cada real $x_0$ .

Answer 2

Como se trata de una definición, tu primer "si" debe leerse realmente como un "si y sólo si". Por lo tanto, lo que preguntas siempre se cumple.

Answer 3

El definición de una función continua es que satisface la $\epsilon-\delta$ propiedad. Las definiciones, por convención, funcionan en ambos sentidos . Por lo tanto, diremos que cualquier función que satisfaga la $\epsilon-\delta$ es continua por definición.

Debo añadir que el $\epsilon-\delta$ propiedad, es algo que se mantendría sólo en espacios métricos es decir, cuando se tiene una función de distancia entre puntos. En un espacio topológico general (¡que no tiene por qué tener una función de distancia en ella!), la definición de continuidad de una función $f$ entre espacios topológicos $X$ et $Y$ es que la preimagen de un conjunto abierto en $Y$ debe estar abierto en $X$ .

Resulta que si $X$ et $Y$ son espacios métricos, entonces esta definición es equivalente a la $\epsilon-\delta$ lo que significa que en los espacios métricos se puede trabajar con cualquiera de las dos definiciones y el trabajo estará hecho.

Por lo tanto, la continuidad es equivalente a la $\epsilon-\delta$ siempre que esta propiedad sea aplicable.

Answer 4

Este artículo de la wikipedia también puede ser interesante. Especialmente esta parte:

En matemáticas, una definición se utiliza para dar un significado preciso a un nuevo término, en lugar de describir un término preexistente. Las definiciones y los axiomas son la base sobre la que se construye toda la matemática.

Y:

Una definición Intensional, también llamada definición connotativa, especifica la condiciones necesarias y suficientes para que una cosa sea miembro de un conjunto específico. Cualquier definición que intente establecer la esencia de algo, como la de género y diferencial es una definición intensional.