Es posible definir métricas espacios de pura topológico conceptos sin la necesidad de definir una función de distancia?

Question

La lectura de un libro esta pregunta viene a la mente, es posible definir métricas espacios utilizando sólo topológico conceptos sin la explícita definición de una métrica?

Por ejemplo, podemos decir que todos los espacios de Hausdorff se métrica espacios?

Answer 1

Es posible definir la clase de metrizable espacios puramente topológico términos. De hecho, hay muchos de los llamados metrization teoremas que caracterizan a la clase de metrizable espacios topológicamente; aquí es un paquete de cuatro de ellos.

Teorema. Los siguientes son equivalentes para un espacio topológico $\langle X,\tau\rangle$:

1. $X$ $T_3$ e ha $\sigma$-localmente finito base.
2. $X$ $T_3$ e ha $\sigma$discreto de base.

3. $X$ ha abierto cubre $\mathscr{G}_n$ $n\in\Bbb N$ tal que

   • si $G_0,G_1\in\mathscr{G}_{n+1}$ algunos $n\in\Bbb N$, e $G_0\cap G_1\ne\varnothing$, entonces no es un $G_2\in\mathscr{G}_n$ tal que $G_0\cup G_1\subseteq G_2$, y
   • siempre que $x\in U\in\tau$, hay un $m\in\Bbb N$ tal que $\bigcup\{G\in\mathscr{G}_n:x\in G\}\subseteq U$ por cada $n\ge m$.

4. $X$ es un paracompact Moore espacio.

5. $X$ es metrizable.

Sin embargo, una métrica del espacio, por definición, viene equipado con una métrica y un espacio métrico con más de un punto siempre tiene más de una métrica que genera la misma topología. Por lo tanto, en realidad no tenemos un espacio métrico hasta que especificar la métrica, incluso cuando sabemos que no es la que genera la topología que desee. Si un espacio topológico $\langle X,\tau\rangle$ cumple una de las cuatro condiciones anteriores, hay una manera de construir un indicador en $X$ que genera la topología $\tau$, pero hay muchas otras métricas en $X$ que generan la misma topología.