Hyper Derivado de la definición.

Question

Después de algunos pensamientos en análisis real y en analogía con la clásica definición de la derivada $$ f^\prime(x) = \lim_{h\rightarrow 0}{f(x+h)-f(x)\sobre h} $$ He considerado los siguientes hyper-derivado de la definición: $$ f^\nabla(x) = \lim_{h\rightarrow 1}\log_h{f(x\cdot h)\más de f(x)} $$ Es fácilmente demostrado entonces que $$ (f\cdot g)^\nabla = f^\nabla + g^\nabla $$

Me gustaría por favor si alguien puede dar alguna opinión de los expertos en las siguientes:

• Es el hyper derivado de la definición de bien definidos? o somedody puede ver un problema potencial?
• Alguien puede proporcionar una interpretación geométrica para el hyper derivado de la definición?

Answer 1

¿Qué es $\boldsymbol{\,f^\nabla(x)}$? $$ \begin{align} f^\nabla(x) &=\lim_{h\to1}\log_h\left(\frac{f(xh)}{f(x)}\right)\\ &=\lim_{h\to1}\frac{\log(f(xh))-\log(f(x))}{\log(h)}\\ &=\lim_{\delta\to0}\frac{\log(f(x+\delta\,x))-\log(f(x))}{\log(1+\delta)}\\ &=\lim_{\delta\to0}\frac{\delta\,x}{\log(1+\delta)}\,\lim_{\delta\to0}\frac{\log(f(x+\delta\,x))-\log(f(x))}{\delta \,x}\\ &=x\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log(f(x))\\ &=x\,\frac{f'(x)}{f(x)} \end{align} $$ que está bien definido siempre como $\,f'(x)$ existe y $f(x)\ne0$.

Además, si $f'(0)$ existe y $f(0)=0$,$f^\nabla(0)=1$.

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Interpretación Geométrica

Extender el resultado anterior, $$ \begin{align} f^\nabla(x) &=x\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log(f(x))\\ &=\frac{\mathrm{d}\log(f(x))}{\mathrm{d}\log(x)} \end{align} $$ cual sería la pendiente de la gráfica de $f(x)$ en un log-log de la parcela.

Answer 2

Suponiendo que $f$ es diferenciable en el sentido habitual en $x$, $$ f(xh)=f(x)+(h-1)xf'(x)+o(h-1). $$ Si $f(x)\neq 0$,$ f(xh)/f(x)=1+(h-1)xf'(x)/f(x)+o(h-1)$. Por otra parte, $\ln h=h-1+o(h-1) $, por lo tanto $$ \log_h\frac{f(xh)}{f(x)}=\ln\frac{f(xh)}{f(x)}\cdot (\ln\,h)^{-1}=\frac{(h-1)xf'(x)/f(x)+o(h-1)}{h-1+o(h-1) }=\\ x =\frac{f'(x)}{f(x)}+o(h-1). $$ Por lo tanto $$ f^\nabla(x)=x\cdot (\ln f)'(x). $$ Esto produce fácilmente $(f\cdot g)^\nabla = f^\nabla + g^\nabla$ y proporciona el geométrica significado en términos de la una de la derivada.

Answer 3

Vamos a decir $f$ es continua, $x>0$$f(x)>0$. A continuación, son, básicamente, el cálculo de $$\lim_{h\to 1} \frac{\ln f(xh)-\ln f(x)}{\ln h}=\lim_{u:=\ln h\to 0}\frac{\ln f(x\cdot e^u)-\ln f(x)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{\ln f(e^{u+\ln x})-\ln f(e^{\ln x})}{u}=\frac{d(\ln\circ f\circ\exp)}{dy}(\ln x)$$

Así, por $x>0$$f(x)\ne 0$, usted tiene que $f^\nabla(x)=g'(\ln x)$ donde $g(y)=\ln \lvert f(e^y)\rvert$

Del mismo modo, para $x<0$$f(x)\ne0$, $f^\nabla (x)=g'(\ln x)$ donde $g(y)=\ln\lvert f(-e^y)\rvert$.

Si $f(x)=0$, $f^\nabla$ no está definido. Y, evidentemente, si $f(0)\ne 0$,$f^\nabla(0)=0$.