¿Por qué suponemos, en el análisis dimensional, que la constante restante es adimensional?

Question

Walter Lewin primera conferencia (a las 22:16) analiza el tiempo $t$ para que una manzana caiga al suelo, utilizando el análisis dimensional. Su razonamiento es el siguiente:

Es natural suponer que la altura de la manzana al suelo ( $h$ ), masa de la manzana ( $m$ ), y la aceleración debida a la gravedad ( $g$ ) puede influir (perdón por el juego de palabras) en el tiempo que tarda la manzana en llegar al suelo. A continuación, $$t \propto h^\alpha m^\beta g^\gamma.$$ En ambos lados, las unidades deben ser equivalentes, por lo que $$[T] = [L]^\alpha [M]^\beta \left[\frac{L}{T^2}\right]^\gamma = [L]^{\alpha + \gamma} [M]^\beta [T]^{-2\gamma}.$$ Por lo tanto, $$1 = -2\gamma, \quad \alpha + \gamma = 0, \quad \beta = 0.$$ Resolviendo, tenemos $$\gamma = -\frac{1}{2}, \quad \alpha = \frac{1}{2}, \quad \beta = 0.$$ Entonces concluimos $t = k\sqrt{\frac{h}{g}}$ donde $k$ es una constante sin unidades.

Lewin concluye que la manzana cae independientemente de su masa, como demostró en su experimento mental y verificó en la vida real. Pero no estoy de acuerdo con su razonamiento.

Lewin asumió que $k$ no tiene unidades. ¿Por qué llegó a esta conclusión? Después de todo, algunas constantes tienen unidades, como la constante gravitacional ( $G$ ).

¿Por qué no es correcto el siguiente razonamiento? La constante ( $k$ ) tiene la unidad $[M]^{-z}$ por lo tanto, para igualar ambos lados de la ecuación, $\beta = z$ . Así que, efectivamente, la masa de la manzana influye en su tiempo de caída.

Answer 1

Tu ejemplo muestra una idea fundamental: aunque las unidades coincidan, esto no significa que la ecuación resultante sea una ley de la física. Por eso los físicos sólo "aceptan" las leyes que se han comprobado experimentalmente.

Esta idea se explica muy bien en Cómic XKCD:

Aquí tenemos un ejemplo más extremo que el simple "cambio de unidades de $k$ '. Resulta que podríamos añadir arbitrariamente distintas cantidades a una ecuación, y acabar con una nueva ecuación que es completamente válida. Esto hace no ¡Quiero decir que esto tiene algún sentido! Tu nueva "ley" necesita ser validada con experimentos, y como puedes ver en el cómic, un solo experimento puede no ser suficiente.

El análisis dimensional, por tanto, es no utilizado para derivar nuevas leyes de la física mediante el puro razonamiento. En cambio, su profesor ya conocía por la razón que sea, que $t\propto h^\alpha m^\beta g^\gamma$ . Incluso eso es ya un acto de fe: no hay nada + que te impide asumir $t\propto \ln h$ . Citando tu propio post:

[...] como demostró en su experimento mental y verificado en la vida real .

Por tanto, el análisis dimensional debe considerarse una herramienta muy útil, que forma parte de un conjunto de herramientas más amplio para deducir determinadas leyes y ecuaciones. Por ejemplo, si deriva una ecuación por cualquier otro medio, puede utilizar el análisis dimensional para consulte si su nueva ecuación es posible en absoluto. O, en el caso de este profesor, puedes tener una idea general de por dónde debería ir tu ecuación, y entonces puedes usar el análisis dimensional para tener una idea razonable de la forma final de esa ecuación. (Nota: esto puede salvarte algún día en un examen a libro cerrado).

+ Eso no es cierto. Hay buenas razones por las que probablemente nunca verá $\ln h$ pero eso será en otra ocasión.

Answer 2

Para hacer un análisis dimensional, primero enumeramos todas las cantidades que podrían afectar a una cantidad de interés. Es cierto que esto es complicado. Tienes toda la razón al preguntarte, por ejemplo, por qué no incluimos la constante gravitatoria $G$ o quizás la masa de la Tierra $M$ . En particular, si incluimos $M$ el argumento falla inmediatamente, porque podemos tener cualquier poder de $m/M$ en la respuesta.

El Prof. Lewin sortea esto mediante un ligero engaño. Mientras que los valores de $M$ y $G$ do afectan al tiempo, sabemos que sólo afectan al resultado a través de la combinación $$g = \frac{GM}{R_E^2}$$ donde $R_E$ es el radio de la Tierra. Sin embargo, al suponer esto, en cierto modo estamos suponiendo la conclusión, así que es una pequeña trampa.

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Sin embargo, además de la cuestión de $M$ y $G$ podemos descartar otras "constantes dimensionales", por lo que el argumento es válido. Por ejemplo, podríamos decir que la constante $k$ podría tener algo que ver con la masa de Planck, pero sabemos que no puede, porque eso implica $\hbar$ y la mecánica cuántica es irrelevante aquí. Un razonamiento físico similar puede reducir el número de cantidades lo suficiente sin hacer trampas en la mayoría de las situaciones.

Answer 3

Al aceptar la presencia de la "aceleración debida a la gravedad" $g$ el profesor Lewin ya ha postulado que la masa no tiene nada que ver. En otras palabras, ha añadido ciertos conocimientos sobre la física del sistema (es decir, si existe la aceleración debida a la gravedad, y ese número es una constante, eso significa que todas las cosas aceleran de la misma manera. Y si aceleran de la misma manera, no hay dependencia de la masa). Esto elude la pregunta "¿puede la masa del objeto afectar al tiempo de caída?".

Si quieres responder a esa pregunta, NO PUEDES, en tu análisis dimensional, asumir que la respuesta es "no". Del mismo modo, no puedes asumir la ley de la gravedad de Newton (porque si lo hicieras, llegarías a la misma conclusión).

Esto le deja en una posición de partida con un conjunto diferente de entradas posibles. El tiempo de caída puede depender de la masa de la tierra $M$ la masa del objeto $m$ la altura $h$ y "algo más que introduce el tiempo en la ecuación", $X$ . Yo lo llamo $X$ porque no tenemos información sobre su función. Lo único que sabemos es que $X$ debe incluir al menos las dimensiones de $T$ (con potencia desconocida) y $L$ (porque la respuesta tiene que tener unidades de tiempo -que ahora mismo no tenemos- y no puede tener unidades de longitud -que ahora mismo sí tenemos-). Y posiblemente $M$ .

Y eso nos deja con un lío irresoluble - tres ecuaciones (cuatro, si se asume simetría en la masa) con siete incógnitas (no sabemos la potencia de X, y no sabemos los tamaños relativos de los coeficientes de $M$ , $L$ y $T$ en X). El análisis dimensional no siempre nos da la respuesta a todos los problemas; de hecho, tenemos que introducir algunos conocimientos físicos reales para progresar.

Si sólo postulamos que $G$ la constante gravitacional, también tiene "algo que ver", entonces tenemos dimensiones para $X$ ( $L^3 M^{-1} T^{-2}$ ) y sólo nos quedan cuatro incógnitas. Primero podemos intentar hallar la fuerza sobre la manzana:

$$F = k~M^a m^b G^c h^d$$

De donde obtenemos esta ecuación:

$$M^1 L^1 T^{-2} = k~M^a M^b L^{3c} M^{-c} T^{-2c} L^d$$

lo que conduce a ecuaciones en $L$ , $M$ y $T$ :

$$T: -2 = -2c\\ M: 1 = a + b - c\\ L: 1 = 3c + d$$

Por último, sabemos que la fuerza es simétrica, por lo que deberíamos obtener la misma respuesta al intercambiar $a$ y $b$ lo que conduce a una cuarta ecuación

$$a = b$$

Ahora podemos resolver esto para obtener respectivamente $$c = 1\\ d = -2\\ a = b = 1$$

En otras palabras, encontramos la ley de la gravedad de Newton (dentro de una constante).

Y una vez que vemos que la fuerza es proporcional a la masa, sabemos que la aceleración es constante - y entonces el argumento puede proceder normalmente.

Answer 4

Creo que su objeción es válida. Por ejemplo, supongamos que establecemos $z = 1$ la fórmula sería la siguiente

$$t = \frac{m}{m_0} \sqrt{\frac{h}{g}}$$

donde $m$ es la masa de la manzana y $m_0$ es una constante física fundamental con unidades de masa. Esto es matemáticamente coherente. Si esto fuera una ley de la naturaleza, "sólo" significaría que tenemos una constante fundamental $m_0$ con unidades de masa. Esto parece extraño, pero no carece de precedentes; por ejemplo, en el modelo estándar las masas de los quarks, leptones y neutrinos son constantes fundamentales (no derivadas) con unidades de masa. Simplemente no vemos muchas constantes sin unidades en la física clásica.

Answer 5

Para hacer un análisis dimensional, enumeramos todas las cantidades que podrían afectar al resultado y escribimos (convencionalmente) los términos de menor potencia que hacen que las dimensiones se equilibren a ambos lados de la ecuación. También añadimos una constante adimensional, ya que este análisis no puede determinar la escala final.

Entonces escribimos todas las combinaciones adimensionales posibles de cantidades, por ejemplo el número de Reynolds (que en una definición es (masa.aceleración)/(viscosidad dinámica.(velocidad/distancia).área)) y aceptamos que nuestra respuesta de "términos más bajos" podría multiplicarse por cualquier potencia de cualquier término adimensional. Hasta ahí llega el análisis dimensional.

Si nuestra intuición es buena, podemos utilizar la navaja de Occam para recortar la masa de términos adimensionales irrelevantes. El experimento es el árbitro final de lo que la ecuación es en realidad, de qué términos adimensionales deben incluirse y también pondrá un valor a la constante.