Cómo encontrar esta ecuación toda solución $2a^2-1=b^{2013}$

Question

Deje $a,b\in \mathbb Z$ y tal $$2a^2-1=b^{2013}$$

encontrar todo el valor $a,b$

Creo que $(a,b)=(0,-1),(1,1),(-1,1)$ es la solución, y tienen otra solución. Gracias a todos

Answer 1

Siguiendo la sugerencia de Jyrki, establece $c=b^{671}$ y la ecuación se convierte en $$2a^2=c^3+1$$ Multiplica ambos lados por 8 para obtener $$(4a)^2=(2c)^3+8$$ Se trata de un Curva Mordell que tienen un número finito de soluciones. En este caso la constante es $8$ y aquí podemos encontrar las únicas soluciones integrales $$(4a,2c)\in \{(0,-2),(3,1),(-3,1), (4,2), (-4,2), (312,46), (-312,46)\}$$ Esto da $$(a,c)\in \{(0,-1),(1,1),(-1,1),(78,23),(-78,23)\}$$

Sin embargo, sólo los tres primeros dan $c$ que es una potencia 671. Esto confirma que hay tres soluciones en los números enteros.

Seguimiento: Podemos reemplazar $2013$ con $3(2k+1)$ para cualquier integral $k\ge 2$ y obtener el mismo resultado.