Voy a asumir que las longitudes $a$ $b$ son desiguales, pues de lo contrario
los tres medios son los mismos.
Por conveniencia en la descripción de las construcciones, supongamos, sin pérdida de
generalidad que $a < b$.
La dificultad con este problema en mi opinión es que mientras que el
construcciones de la aritmética y armónica medios de construcciones sencillas
que directamente utilice el formulario de el trapecio en sí (es decir, los puntos medios
de las caras laterales y la intersección de las diagonales, respectivamente),
la media geométrica no.
Es relativamente simple de la construcción de la media geométrica de la
dos bases de un trapecio en el enlace aquí.
En primer intentar responder a esta pregunta he seguido muy de construcción similares (aunque con diferentes etiquetas para los puntos),
pero yo elijo ahora, para utilizar una variación de la construcción que hace uso de algunos de los pasos que hemos de otro modo tendría que añadir más tarde en el fin de mostrar que la media geométrica es entre los otros dos medios.
Mi construcción, sin embargo, todavía va a utilizar la misma idea básica de la construcción, que es primero encontrar un segmento
de longitud $\sqrt{ab}$ (la media geométrica) en algún lugar en el avión,
a continuación, encontrar una igual segmento paralelo a $\overline{AB}$ $\overline{CD}$ y tiene extremos en $\overline{BC}$$\overline{AD}$.
Con el fin de encontrar un segmento de longitud $\sqrt{ab}$, el primer paso es
construir un segmento de longitud $a$ adyacente al segmento de $\overline{CD}$.
Una manera de hacer esto es construir el punto medio $M$ lado $\overline{AD}$ y ampliar las líneas de $\overleftrightarrow {BM}$ $\overleftrightarrow {CD}$ hasta que se cruzan en $E$.
El punto de $D$ ahora divide el segmento $\overline{CE}$ en los segmentos de
de longitudes $CD=b$$DE=a$.
Construimos un semicírculo uso de $\overline{CE}$ como su diámetro, y
extender una línea perpendicular a $\overline{CE}$ a través de $D$ hasta
se cruza con el semicírculo en $F$. A continuación,$DF = \sqrt{ab}$.
Tenemos entonces ya construida, la media geométrica de $a$$b$,
aunque no en la ubicación en el plano, donde en última instancia, deseamos
para construirlo.
Para construir una igual longitud que el segmento en la ubicación deseada,
podemos usar un compás para construir un punto de $G$ en el segmento de $\overline{CD}$ tal que $DG = DF$. (Sabemos que hay un punto entre el $C$ $D$ porque $a < b$ y, por tanto,$DF = \sqrt{ab} < b = CD$.)
A continuación, encontramos la intersección del segmento de $\overline{AG}$ con diagonal $\overline{BD}$$K$.
Por último, se construye la línea a través de $K$ paralelo a $\overline{AB}$ $\overline{CD}$ y encontrar sus puntos de intersección $P$ $Q$ con los lados del trapecio $\overline{AD}$$\overline{BC}$, respectivamente.
![figure constructing three means of the bases of a trapezoid]()
Ahora triángulos $\triangle ABK$ $\triangle GDK$ son similares, y
sus bases de $AB$ $DG$ (por lo tanto también sus correspondientes alturas,
y que las alturas de trapecios $ABQP$$CDPQ$)
están en la relación de $a:\sqrt{ab}$.
Por lo tanto,$AB:PQ = PQ:CD = a:\sqrt{ab}$, e $PQ = \sqrt{ab}$; hemos construido la media geométrica de $a$ $b$ en la ubicación deseada.
Para el siguiente paso
(mostrando que $\frac{2ab}{a+b} < \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$),
construimos punto de $H$ en el segmento de $\overline{CD}$ tal que $DH = AB$.
(Podemos hacer esto mediante el dibujo de una brújula arco de $E$ centro $D$ hasta
el arco se cruza con $\overline{CD}$$H$.)
Desde $a < \sqrt{ab} < b$, tenemos
$DH < DG < CD$, y por lo tanto $G$ entre $C$$H$.
Ahora vamos a $J$ ser la intersección del segmento de $\overline{AC}$ con diagonal $\overline{BD}$, y la construcción de segmento $\overline{MN}$ a través de $J$ con
endpoint $N$ lado $\overline{BC}$ del trapecio. A continuación, $\overline{MN}$
es paralelo a $\overline{AB}$ $\overline{CD}$ (una de las razones es que el $M$ $J$ bisecar $AD$$AH$), y $MN$ es la media aritmética de $a$$b$.
A continuación, vamos a $L$ ser la intersección de la diagonal $overline{AC}$ con diagonal $overline{BD}$, y la construcción de segmento $\overline{RS}$ a través de $J$
paralelo a$\overline{AB}$$\overline{CD}$, de modo que los extremos
$R$ $S$ están en el trapecio de lados de $\overline{AD}$$\overline{BC}$,
respectivamente. A continuación, $RS$ es la media armónica de $a$$b$.
Ahora, los puntos $J$, $K$, y $L$ se encuentran a lo largo de la diagonal $\overline{BD}$,
y están en la línea de segmentos de $A$ a
(respectivamente) $H$, $G$, y $C$.
Pero $H$, $G$, y $C$ ocurren en ese orden a lo largo de $\overline{CD}$, y
por lo tanto $J$, $K$, y $L$ también se producen en ese orden a lo largo de $\overline{BD}$,
y el segmento de $\overline{PQ}$ a través de $K$,
representación de la media geométrica,
se encuentra entre los segmentos que representan a la armónica y la media aritmética.
