¿Es local el cociente de un anillo por una potencia de un ideal máximo?

Question

Digamos que tengo un anillo conmutativo $R$ con un ideal máximo $m$ . Entonces $m/m^k$ es un ideal máximo en $R/m^k$ para cualquier $k$ . ¿Es el único ideal máximo, es decir, es $R/m^k$ ¿un anillo local?

Este es un resultado bien conocido para $k = 1$ , como $R/m$ es un campo. Parece ser cierto en otros casos, por ejemplo $p\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}$ para la primera $p$ y para $(x,y) \subset \mathbb{F}[x,y]$ el ideal máximo generado por $x$ y $y$ en un anillo polinómico sobre el campo $\mathbb{F}$ .

De forma equivalente, si un elemento $x\notin m$ es $x + m^k$ un elemento invertible en $R/m^k$ ?

Answer 1

Los ideales de un anillo cociente $R/I$ son de la forma $J/I$ con $I\subseteq J\subseteq R$ , $J$ ideal de $R$ . En particular, los ideales primos son de la forma $P/I$ con $I\subseteq P$ , $P$ ideal primario de $R$ . Ahora dejemos que $I=M^k$ con $M$ máximo. Un ideal primo $P$ de $R$ que contiene $M^k$ contiene $M$ (por la definición de ideales primos), por lo que es igual a $M$ .
Conclusión: $R/M^k$ no sólo es local, sino que tiene un único ideal primo, a saber $M/M^k$ .

Answer 2

$m/m^k$ consiste en elementos nilpotentes en $R/m^k$ . El nilradical es la intersección de todos los ideales primos, por lo que $m/m^k$ está contenido en cualquier ideal primo y, por tanto, en cualquier ideal maximal. Pero él mismo es un ideal maximal por construcción, así que debe ser el único.