Evaluando el límite $\lim_{x\to\infty}\frac{(1+1/x)^{x^2}}{e^x}$

Question

¿Podría alguien mostrarme paso a paso por qué tiene la siguiente igualdad? $$\lim_{x\to\infty}\frac{(1+1/x)^{x^2}}{e^x} = e^{-1/2}$$

El método más obvio te da 1 como una respuesta, pero entiendo que es de sólo el límite de $(1+1/x)^x$ $e$, pero no es realmente igual a $e$ expresión. Y ahora estoy atrapado.

Answer 1

Calcular el límite del logaritmo de la función: $$ \lim_{x\to\infty}\log\frac {(1 + 1/x) ^ {x ^ 2}} {e ^ x} = \lim_{x\to\infty}(x^2\log(1+1/x)-x) $$ ahora conjunto $x=1/t$: $$ \lim_{x\to\infty}(x^2\log(1+1/x)-x) = \lim_{t\to0^+}\frac{\log(1+t)-t} {t ^ 2} $

El límite se convierte en $\displaystyle\lim_{t\to0^+}\frac{t-t^2/2+o(t^2)-t}{t^2}=-\frac{1}{2}$. Así que su límite original es $e^{-1/2}$.

Answer 2

Decir $$y = \frac{\left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}{e^x}$$ Then $\log(y) = x ^ 2 \log\left (1 + \frac{1}{x}\right)-x$. We change variables $t=\frac{1}{x}$. Then $\log (y) = \frac {1} {t ^ 2} \log(1+t) - \frac{1}{t}$.

% Cerca $t=0$, $$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}- \frac{t^4}{4} +\ldots$ $

Tan cerca de $t=0$, $$\log(y) = \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{2} + O(t)\right) - \frac{1}{t} = - \frac{1}{2} + O(t) $ $

Volviendo en términos de $x$, % grande $x$

$$\log(y) = - \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right) $$

Por lo tanto, $$\lim_{x\rightarrow\infty} \log(y) = -\frac{1}{2}$ $

exponentiating tenemos el resultado.