Es $\operatorname{Aut}(\mathbb{I})$ isomorfo a $\operatorname{Aut}(\mathbb{I}^2)$ ?

Question

Es $\def\Aut{\operatorname{Aut}}\Aut(\mathbb{I})$ isomorfo a $\Aut(\mathbb{I}^2)$ ? ( $\mathbb{I},\mathbb{I}^2$ tienen su significado habitual como objetos en $\mathsf{Top}$ ).

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Muestro algo de uno de mis intentos. Intentaba demostrar que los dos no son isomorfos considerando los elementos de orden $2$ de ambos grupos. Si $\Aut(\mathbb{I})$ tiene un número finito de elementos de orden $2$ entonces $\Aut(\mathbb{I}^2)$ tendría más elementos de orden $2$ (porque para cada $f\in \Aut(I)$ de orden $2$ las funciones $f_1,f_2$ dado por $f_1(x,y)=(f(x),f(y)),f_2(x,y)=(x,f(y))$ son elementos de orden $2$ de $\Aut(\mathbb{I}^2)$ ).

En breve, descubrí que $\Aut(\mathbb{I})$ tiene infinitos elementos de orden $2$ Por lo tanto, esto no funciona.

Answer 1

Si supieras que sólo hay un número finito no nulo de elementos de $\text{Aut}(\Bbb I)$ de orden $2$ Entonces, su planteamiento sería suficiente. Sin embargo, como usted sabe que cada mapa $x\mapsto(1-x^n)^{1/n}$ con $n\in\Bbb Z_+$ es un elemento de $\text{Aut}(\Bbb I)$ de orden $2$ entonces hay infinitos elementos de este tipo en ambos grupos de automorfismo. Sin algo más -como demostrar que las respectivas colecciones infinitas de orden $2$ los elementos son de diferente cardinalidad esto no será suficiente.

Considere en cambio la función $g:\Bbb I^2\to\Bbb I^2$ dado por $$g(x,y)=(1-y,x).$$ Debe poder demostrar que $g$ es un automorfismo de orden $4$ . Hace $\text{Aut}(\Bbb I)$ tienen cualquier elementos de orden $4$ ?

Consejos : Cada auto-homeomorfismo en $\Bbb I$ será estrictamente creciente o estrictamente decreciente. El único auto-homeorfismo estrictamente creciente en $\Bbb I$ de orden finito es la función identidad. Consideremos el subgrupo multiplicativo $C_2:=\{1,-1\}$ de $\Bbb C^\times,$ y la función $\phi:\text{Aut}(\Bbb I)\to C_2$ tomando funciones estrictamente crecientes a $1$ y funciones estrictamente decrecientes a $-1$ . Debe poder demostrar que $\phi:\text{Aut}(\Bbb I)\to C_2$ es un homomorfismo sobreyectivo. A partir de esto, vemos que si $f$ es un auto-homeorfismo estrictamente decreciente de $\Bbb I$ de orden finito, entonces $f$ tiene un orden uniforme. ¿Cómo es el orden de $f$ relacionados con el orden de $f^2$ ? Es $f^2$ ¿es estrictamente creciente o estrictamente decreciente? ¿Qué podemos concluir entonces sobre el orden de $f$ ?