Este tipo de pregunta se contesta mirando como $q$ factores en un preciso abelian extensión de $\Bbb Q(\sqrt p)$.
En tu ejemplo, $\Bbb Q(\sqrt p)$ tiene clase número $1$. Su anillo de enteros es $\Bbb Z\left[\frac{1+\sqrt {37}}2\right]$, y la norma de la forma cuadrática es $x^2+xy-9y^2$. $11$ se divide en este cuadrática de extensión, por lo que es una norma, como $11 = 4^2+4-9$.
Ahora, su forma cuadrática tiene discriminante $4*37$. Es la norma de la forma de la rejilla $\Bbb Z[\sqrt{37}]$, así que la pregunta es : ¿Cuándo los números primos que dividen, dar los números primos que la tierra en este entramado (arriba a la multiplicación por una unidad) ?
Un rápido cálculo muestra que las unidades son generados por $6 \pm \sqrt {37}$, y lo más importante, están en $\Bbb Z[\sqrt{37}]$, e $(6+\sqrt{37})(6- \sqrt{37}) = -1$. Por lo tanto, modulo $(2)$ y los dos infinitos lugares, las unidades se $\{\overline 1 \}\times\{\pm 1\}^2$. Esto también muestra que $-1$ está representado por $x^2+xy-9y^2$$x^2-37y^2$, y que el positivo representado los números primos son los mismos son los negativos representados los números primos.
Los elementos de $\Bbb Z[\sqrt {37}]$ son los congruente a $0,1$ modulo el ideal $(2)$. Aquellos que son primos, entonces (con la excepción de $2$) los congruente a $1$ modulo $(2)$, y por lo que estamos buscando los números primos que están en el trivial de la clase de $G = \left(\Bbb Z\left[\frac{1+\sqrt {37}}2\right]/(2)\right)^* \approx \Bbb Z/3 \Bbb Z$, y que es el rayo del grupo de clase de conductor de $(2)\infty_1\infty_2$ (quotienting por las unidades quita el signo de los componentes de los infinitos lugares).
Ahora, como una verificación de la realidad, los números primos de norma $11$ $\frac{9 \pm \sqrt{37}}2 \equiv \frac{1 \pm \sqrt{37}}2 \neq 1 \pmod {(2)}$
De acuerdo a la clase de teoría del campo, los números primos que aterrizan en el trivial de la clase (y por lo tanto son representables como $x^2-37y^2$) son los que se dividen en un determinado abelian cúbicos de extensión de la $K$$\Bbb Q(\sqrt {37})$. Si por casualidad $K$ es abelian $\Bbb Q$, entonces sabemos que a partir del teorema de Kronecker que esto es equivalente a una construcción modular de la condición en la original, la primera, y debería ser obvio al mirar hacia atrás en $x^2-37y^2$ mod $4*37$.
Lamentablemente este no es el caso : $x^2-37y^2$ puede tomar cada valor impar modulo $4$, y para el grupo de Galois de $K$ $\Bbb Q$ no es abelian, pero es $S_3$. Así que no debe ser un polinomio cúbico $P(X) = X^3+aX+b$, de tal manera que $x^2-37y^2$ representa un primer $q$ si y sólo si $P$ se divide en factores lineales modulo $q$.
Si $P(X) = X^3-4X-2$, resulta que el campo de clase es la división de campo de la $P$, y para $p \neq 37$, tenemos las equivalencias :
- $P(X)$ se divide en $3$ lineal distinta factor si y sólo si $p = x^2-37y^2$
- $P(X)$ $1$ lineal factor de si y sólo si $p$ no es un cuadrado modulo $37$
- $P(X)$ no se tiene en cuenta en absoluto si y sólo si $p = 4x^2+6xy-7y^2$
