Grupo abeliano admitiendo un homomorfismo sobreyectiva en un infinito Grupo cíclico

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Deje $G$ un grupo Abelian y $f: G \to \Bbb Z$ un surjective homomorphism. Demostrar que $G \cong \ker(f) \times \Bbb Z$

Por medio del Primer Teorema de Isomorfismo, podemos obtener que el $G / \ker(f) \cong \Bbb Z$. ¿Hay alguna forma natural de proceder a partir de este punto, invocando probablemente algunos otros teorema, o en la necesidad de definir un mapa y demostrar que es un isomorfismo?

De manera más general, es cierto que dado un grupo Abelian $A$ y un subgrupo $B$, $$A/B \cong C \Rightarrow A \cong C \times B$$

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Es necesario definir el mapa de la división de $g\colon \mathbb Z \to G$ (de modo que $fg$ es la identidad). Se debe tener claro cómo hacerlo, pick $x \in G$ tal que $f(x) = 1$ y, a continuación, defina $g(n) = nx$.

A continuación, se muestran que $g$ es inyectiva y $G = \ker f \times \mathrm{im} \ g$. Es un faily primaria argumento, sólo muestran que los dos grupos han trivial intersección y generar $G$.

En cuanto a tu pregunta más general la respuesta es no. Por ejemplo, $\mathbb Z/4$ ha subgrupo $\{0, 2\}$ isomorfo a $\mathbb Z/2$. El cociente también es isomorfo a $\mathbb Z/2$ pero $\mathbb Z/4$ no es isomorfo a $\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$.

Por otro lado, si $B \simeq \mathbb Z^n$ algunos $n$ entonces es cierto que $A \simeq A/B \times B$. El uso más avanzado de idioma, la razón es que el $\mathbb Z^n$ es un servicio gratuito de $\mathbb Z$-módulo, de ahí proyectiva, por lo tanto surjections para que se dividen. Básicamente, con $\mathbb Z^n$ usted siempre será capaz de definir el mapa de la división de $g$ y llevar a cabo el resto del argumento anterior.

Answer 2

Jim respuesta da todo lo que usted necesita, pero permítanme tratar de sacar la imagen más grande en otras palabras.

Lo que estamos viendo es una breve secuencia exacta, es decir, una secuencia exacta de la forma

$$0\to A\xrightarrow{f} B\xrightarrow{g} C\to 0$$

Esto significa que usted tiene tres abelian grupos y todas las flechas son un grupo homomorphisms. Exactitud significa que en cualquier punto de la secuencia, el núcleo de la salida de mapa coincide con la imagen de la entrada de mapa. En particular, esto significa que el núcleo de $f$ es cero, i.e $f$ es inyectiva. Del mismo modo la imagen de $g$ es el total de $C$, lo $g$ es surjective. Además, el núcleo de $g$ es la imagen de $f$. Pero desde $f$ es inyectiva puede identificar a $A$ con su imagen, por lo $Ker(g)\cong A$.

En su inicial ejemplo, usted tiene $B=G$, $C=\mathbb Z$ y $A=ker(G\to \mathbb Z)$.

Ahora una breve secuencia exacta se llama split si una de las siguientes propiedades equivalentes de espera:

a) $$B\cong A\oplus C$$ b) existe un grupo de homomorphism $i:C\to B$ tal que $g\circ i=id$

c) la existencia de un grupo homomorphism $p:B\to A$ tal que $p\circ f=id$.

Así que la forma directa de mostrar que $G\cong \mathbb Z\oplus ker(G\to \mathbb Z)$ sería la construcción de un mapa de $\mathbb Z\to \mathbb G$ que satisface la propiedad b).

Una más general argumento utiliza la definición de projectiveness:

Una $R$-módulo de $P$ (todos los abelian grupos se $\mathbb Z$-módulos) se llama proyectiva si por cualquier surjective $R$-módulo homomorphism (homomorphism de abelian grupos) $f:N\to M$ y cualquier $R$-módulo homomorphism $g:P\to M$ existe una elevación $h:P\to N$ tal que $f\circ h=g$.

Ahora usted puede mostrar que $P$ es proyectivo si y sólo si se corta la secuencia exacta de la forma $$0\to A\xrightarrow{f} B\xrightarrow{g} P\to 0$$ se divide.

También puede mostrar que todos los libres de módulos (el grupo abelian $\mathbb Z$ es claramente libre como un módulo más de sí) son proyectivos.