¿Por qué es importante estudiar los valores propios de la laplaciano?

Question

¿Por qué es importante el estudio de los autovalores de la Laplaciano que actúan en las regiones en $\mathbb R^n$? ¿Qué información de este nos da? ¿Qué problemas esta información nos ayudará a resolver?

En particular, si $0$ está en el espectro, ¿esto nos dice nada acerca de la solvencia de la Dirichlet o de Poisson problema para la región? Esta segunda pregunta está motivada por el siguiente teorema que he encontrado al voltear a través de Davies' Espectral de la Teoría y de los Operadores Diferenciales. El énfasis se coloca en el mismo y la cantidad de trabajo que le hizo a probarlo, yo siento que debe ser importante, pero no puedo decir por qué.

Deje $\Omega\subset \mathbb R^2$ ser regular, y deje $H$ ser el Friedrichs extensión de $\small -\triangle$ inicialmente definido en $C^\infty_c(\Omega)$. A continuación, $0\in \operatorname{Spec} H$ si y sólo si el inradius de $\Omega$ es infinito.

Answer 1

El espectro de $-\Delta$ revela las propiedades de la luz, el calor, el sonido y los fenómenos atómicos. Voy a resumir brevemente.

La ecuación del calor $$ \frac{\partial u}{\partial t} = c\Delta u, $$ puede ser solucionado si usted tiene una base completa de funciones propias de $\Delta u$. Los autovalores dar el tiempo de las tasas de descomposición de las funciones propias en el tiempo. Más explícitamente, si $(-\Delta) e_{\lambda} = \lambda e_{\lambda}$, luego $$ u(x,t)=e^{-c\lambda t}e_{\lambda}(x) $$ es una solución de la ecuación del calor, y, en principio, una solución completa puede ser construido a partir lineal (discretos o continuos) suma de dichas soluciones. Esto viene desde el clásico problema de la separación de variables, originalmente propuesto por Fourier en su Tratado sobre la Conducción de Calor. Espectral de la Teoría tiene su origen aquí.

En forma similar, uno puede desarrollar soluciones de la ecuación de onda: $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\Delta u. $$ La ecuación de onda que gobierna el comportamiento dependiente del tiempo de la intensidad de campo eléctrico en un homogéneos, isótropos, la fuente del material libre. (La propagacion de la luz se describe a través de la ecuación de onda.) En este caso los valores propios de determinar la frecuencia de modulación para un determinado eigenfunction a través de la separación de variables. Esto corresponde a las nociones clásicas de prisma y el espectro. Para una cadena fija en dos puntos extremos y sometidos a pequeñas vibraciones, la clásica unidimensional de la ecuación de onda describe desplazamientos mecánicos, y le da un modo de vibración fundamental y todos los múltiplos enteros de esos modos.k.una. armónicos.) Esto se relaciona con el sonido, y es casi seguro que este es el origen del término "armónico anaysis." Las frecuencias armónicas se derivan de los valores propios de a $\frac{d^{2}}{dx^{2}}$. Una circular del tambor de cabeza se analizaron de manera similar a partir de los autovalores y autovectores de la 2-d Laplaciano. Las frecuencias de resonancia de los tambores no son armónicos y se derivan de los valores propios de la Laplaciano.

La no-relativista átomo de hidrógeno tiene un correspondiente Mecánica Cuántica la ecuación de Onda de Schrödinger $$ i\manejadores\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\manejadores^{2}}{2\mu}\Delta \psi + \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_{0}r}\psi . $$ Aunque el problema no está totalmente reducido a autovalores/vectores propios de a $\Delta$, los autovalores de a $\Delta$ sobre las funciones definidas en la unidad de cáscara esférica (armónicos esféricos) tienen que ver con los valores permisibles de las energías orbitales del átomo; esto revela mucho acerca de la orbital conchas, y las líneas espectrales del átomo de Hidrógeno. Recuerde S, P, D, F de la Química? http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital.

Hay aplicaciones para fluidos así.