Encontrar el número de enteros positivos soluciones de la ecuación de $3x+2y=37$

Question

Encontrar el número de enteros positivos soluciones de la ecuación de $3x+2y=37$ donde $x>0,y>0,\ \ x,y\in \mathbb{Z}$.

Por prueba y error encontré

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 11 & 2 \\ \hline 9 & 5 \\ \hline 7 & 8 \\ \hline 5 & 11 \\ \hline 3 & 14 \\ \hline 1 & 17 \\ \hline \end{matriz} $$

% Total $\large 6$par de soluciones. Pero me gustaría saber si hay un método específico para encontrar sólo el número de soluciones positivas y no necesariamente las soluciones reales.

Busco una manera corta y sencilla. He estudiado matemáticas hasta $12th$ de grado.

Answer 1

En el mundo de la combinatoria, se puede usar algo comúnmente conocido como las "estrellas y barras" método. Por lo general, la ecuación $$x_1+x_2+\ldots+ x_k = s$$ where $s,x_i$ are positive integers has $\binom{s-1}{k-1}$ many solutions. The quantity $\binom{s-1}{k-1}$ is called a binomial coefficient. A general binomial coefficient $\binom{a}{b}$ where $a,b$ are nonnegative integers with $\geq b$ is defined as $$\binom{a}{b} =\frac{a!}{b!(a-b)!}$$ which means $$ \binom{s-1}{k-1} = \frac{(s-1)!}{(k-1)!(s-k)!}$$ In your problem we have $s = 37$ and $k = 2$. So, we want to calculate $$\binom{37-1}{2-1} = \frac{36!}{1!\space 35!} = 36$$ However, this tells us that the equation $x+y = 37$ has $36$ solutions. Since your equation is $3x+2y = 37$, we'll want every third $x$ and every second $y$. This is tantamount to dividing $36$ by $3$ and $2$. We get $\frac{36}{3\cdot 2} = 6$, which matches your calculation. (Had the ratio not been an integer, you'd want to round down to the nearest integer). Depending on how large $k$ and $s$ es, usted puede encontrar las estrellas y las barras método preferible para el cálculo de cada una de las soluciones a mano. Que realmente se reduce bastante fácil factorial de cálculo. Yo diría que el problema podría ir en cualquier dirección.

Answer 2

Tomar cualquiera de las seis soluciones positivas, dicen el primer uno $(11, 2)$; tienes $3\cdot11 +2\cdot2 = 37$ y tiene otra solución $(x, y)$ $3x +2y = 37$.

Por lo tanto se dan $3(x-11)+2(y-2)=0$ $(x, y) = (11 +2t, 2-3t)$ y todas las soluciones. Quieres $11 + 2t \gt 0$ y $2 - 3t \gt 0$ % por lo tanto $-5.5 \lt t \lt 1$.

Así las soluciones del número entero positivo sólo corresponden al parámetro $t = -5, -4, -3, -2 , -1, 0$ exactamente seis los que han encontrado.

Answer 3

Una vez haya encontrado un dueto de números $(x,y)$ satisfacer esta ecuación, que considere otro dueto como $$ (x_1 = x + a, y_1 = y-b) $$ para este segundo dueto a satisfacer la misma ecuación, es necesario que

$$ 3a-2b = 0 $

Que conduce a todos los posibles duetos escritos como $$ (x + 2n, 3n y) $$ $n$ $\mathbb{N}$.