En una prueba estoy tratando de entender un valor medio teorema de variables aleatorias se utiliza. Se afirma que
$$E[f(X+Y)]=E[f(X)+E[f^\prime(X+\theta Y)]Y]$$
para los verdaderos valores de las variables aleatorias $X$ $Y$ $f\in C^1$ (Nota: he tenido que cambiar la ecuación anterior). La variable aleatoria $\theta$ tiene valores en $[0,1]$.
Mi pregunta: es también declaró, que la variable aleatoria $\theta$ es distribuido uniformemente en $[0,1]$ e independiente de $X$$Y$. ¿Por qué es este el caso? Puede que me apunte a la utilizada teorema? (En mi libro de texto sólo los resultados, pero no la utiliza teoremas se mencionan...)
Información adicional:
- $X = \tfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1, k\neq i}^n Y_k$ para la normalización de la me.yo.d variables aleatorias $Y_k$ y un cierto $i\in\{1,2,\ldots,n\}$
- $Y = \tfrac{1}{\sqrt{n}}Y_i$
- Por lo tanto $X$ $Y$ son independientes.
- $f$ es la solución de una Stein ecuación para la aproximación normal
Actualización 1: me acabo de enterar, que es importante tomar la media en ambos lados de la ecuación. He editado mi pregunta...
Actualización 2: he encontrado una solución para la pregunta, ¿por $\Theta$ es distribuido uniformemente (ver mi respuesta). Queda la pregunta: ¿por Qué es $\Theta$ independiente de $X$$Y$?
