Para un fibrado $F \overset{i}{\to} X \overset{p}{\to} B$ con $B$ conectado por ruta, si el mapa $i^*: H^*(X, G) \to H^*(F, G)$ es suryectiva, entonces ¿se sigue necesariamente que la acción de $\pi_1(B)$ en $H^*(F, G)$ ¿es trivial?
Respuestas
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Malachi
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Sí. Si nos fijamos en cómo se define la acción, los mapas dados por inclusión $F\to X$ y la equivalencia homotópica en la fibra seguida de la inclusión $F\to F \to X$ son homotópicas. Esto se deduce simplemente del hecho de que el mapa $F\to F$ se construye elevando $F\times I \to I \to B$ . Así, si podemos extender una clase de cohomología $F\to K(G, n)$ a $X\to K(G,n)$ se deduce que la acción sobre esta clase es trivial. Si podemos extender todas las clases, entonces la acción es trivial.
user142843
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El mapa de borde para la secuencia espectral de Serre de esta fibración es $H^n(E) \to E_\infty^{0,n} \subset E_2^{0,n}=H^{0}(B,\mathscr{H}^n(F)) \subset E_1^{0,n}=H^n(F)$ . Puesto que el mapa de aristas es el mapa de inclusión inducido, y este mapa es suryectivo por hipótesis, $H^n(F)^{\pi_1(B)}:=H^{0}(B,\mathscr{H}^n(F))=H^n(F)$ . Por lo tanto, cada elemento de $H^n(F)$ es invariante bajo la acción de $\pi_1(B)$ .
He tomado este argumento de la Tesis de Serre, homologie singuliere des espaces fibres,(el artículo donde Serre introdujo las secuencias espectrales al mundo).
