A.s. igualdad entre limsup de variables aleatorias

Question

"Dejemos $(X_n)_{n\ge 1}$ sea una secuencia de variables aleatorias uniformemente acotadas definidas en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ . Además, defina $\mathscr{F_0}=\{\emptyset,\Omega\}$ y $\mathscr{F}_n=\sigma(X_1,\ldots,X_n)$ para cada $n\ge 1$ . Entonces, con probabilidad $1$ tiene $$ \limsup_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{m=1}^n X_m=\limsup_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{m=1}^n \mathbf{E}[X_m|\mathscr{F}_{m-1}]." $$

No he podido encontrar la prueba de este hecho, que se encuentra en algún artículo antiguo.. ¿Cómo podemos probarlo?

Answer 1

Esta es una forma de convergencia de la martingala . Configurar $Y_n=X_n-\mathbf{E}[X_n\mid\mathscr{F}_{n-1}]$ tenemos que demostrar que $$ \frac1n\sum_{m=1}^nY_m=\frac1n\sum_{m=1}^nX_m-\frac1n\sum_{m=1}^n\mathbf{E}[X_m\mid\mathscr{F}_{m-1}]\to0 $$ con probabilidad uno. La hipótesis uniformemente acotada dice que hay un $A > 0$ tal que $\lvert X_n\rvert\le A$ para todos $n$ . En particular, $\mathbf{E}[X_n^2]\le A^2$ (que es todo lo que realmente necesitamos), y esto implica que $\mathbf{E}[Y_n^2]\le A^2$ . También, $\mathbf{E}[Y_n\mid\mathscr{F}_{n-1}]=0$ por lo que el proceso $M_n=\sum_{m=1}^nY_m/m$ es una martingala. Es decir, $\mathbf{E}[M_n\mid\mathscr{F}_{n-1}]=M_{n-1}$ . También es $L^2$ - limitado, $$ \mathbf{E}[M_n^2]=\sum_{m=1}^n\mathbf{E}[Y_m^2/m^2]\le\sum_{m=1}^nA^2/m^2\le\frac{A^2\pi^2}6. $$ Ahora, Teorema de convergencia de la martingala de Doob dice que $\sum_{m=1}^nY_m/m=M_n$ converge a un límite en $\mathbb{R}$ con probabilidad uno. El lema de Kronecker entonces da $$ \frac1n\sum_{m=1}^nY_m=\frac1n\sum_{m=1}^nm(Y_m/m)\to0 $$ con probabilidad uno.