Las líneas paralelas dividen el área de un círculo en tercios

Question

Cuando era joven se me ocurrió un problema de geometría y lo dibujé en un cuaderno:

Supongamos que tenemos un círculo de radio $r$ y el área $A$ . Sean dos líneas paralelas que equidistan del centro del círculo y dividan el área del círculo en tercios. ¿Cuál es la distancia $d$ entre estas dos líneas?

(Nota: el siguiente trabajo contiene el risible error de resolver $\int \sqrt{x^2-r^2} \; dx$ en lugar de $\int \sqrt{r^2-x^2} \; dx$ . Voy a seguir adelante y dejar mi trabajo de todos modos:)

Más tarde, en el instituto, volví a encontrar el cuaderno y utilicé mis nuevas herramientas de cálculo para abordar el problema, que registré en las siguientes páginas de ese cuaderno. Reconocí que $$\frac{1}{12}A=\frac{1}{12}(\pi r^2)=\int_0^{d/2} \sqrt{x^2-r^2}\; dx$$ $$=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-r^2}-\frac{r^2}{2}\ln \left|x+\sqrt{x^2-r^2}\right|\biggl|_0^{d/2}$$ $$= \frac{d}{4}\sqrt{\frac{1}{4}d^2-r^2} -\frac{r^2}{2}\left[ \ln\left|{\frac{d}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}d^2-r^2}} \right| -\ln\left|\sqrt{-r^2} \right| \right]$$ Pero sabemos que $$\frac{1}{4}d^2-r^2<0$$ La ecuación final que escribí fue $$r^2= \frac{3d}{\pi}i\sqrt{r^2-\frac{1}{4}d^2} -\frac{6r^2}{\pi}\left[ \ln\left|{\frac{d}{2}+i\sqrt{r^2-\frac{1}{4}d^2}} \right| -\ln\left|ir\right| \right]$$ y aquí es donde probablemente cerré el cuaderno de golpe en señal de frustración.

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Ahora soy más maduro matemáticamente (estudiante universitario) y quiero obtener por fin una respuesta a este problema. Probablemente hay varias maneras de abordar este problema. Encontré una versión de este problema en MSE aquí , pero el mío es el caso particular $n=2$ . ¿Puede alguien ayudarme a solucionar este problema de hace una década? Principalmente he publicado esto porque quiero saber si hay alguna solución elegante por ahí para este problema aparentemente sencillo (por ejemplo, una solución sin métodos numéricos).

Answer 1

Si el ángulo en el origen que forman los segmentos con los dos extremos de la cuerda de la derecha es $\theta$ entonces el área del segmento de la derecha es $$\frac{R^2}{2}(\theta-\sin\theta)$$ (véase Wikipedia, por ejemplo). Si se establece igual a $\frac{1}{3}\pi R^2$ y resolviendo da $\theta\approx 2.6$ . Esto significa que el ángulo formado por el segmento superior y el $x$ -El eje es $\frac{\theta}{2}\approx 1.3$ para que $\frac{d}{2} = R\cos 1.3\approx 0.2675R$ . A partir de las ecuaciones, parece probable que no exista una forma cerrada en las funciones elementales.

Answer 2

La zona $A_1$ del primer cuadrante del tercio interior es $$\begin{align} A_1 = \frac{1}{12} \pi r^2 &= \int\limits_0^{d/2} y(x) \, dx \\ &= \int\limits_0^{d/2} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx \quad (*) \\ &= r \int\limits_0^{d/2} \sqrt{1 - (x/r)^2} \, dx \\ &= r^2 \int\limits_0^{d/(2r)} \sqrt{1- u^2} \, du \\ &= \frac{r^2}{2} \left[u \sqrt{1-u^2} + \arcsin u \right]_{u=0}^{u=d/(2r)} \\ &= \frac{r^2}{2}\left( \frac{d}{2r}\sqrt{1-\left(\frac{d}{2r}\right)^2} + \arcsin \left(\frac{d}{2r} \right) \right) \\ \end{align}$$ Nota: Mi solución se desvía de la suya en $(*)$ . Porque $x^2 + y^2 = r^2 \Rightarrow y = \sqrt{r^2 - x^2}$ .

Esto da la ecuación $$\sin\left( \frac{\pi}{6} - \frac{d}{2r} \sqrt{1 - \left(\frac{d}{2r}\right)^2} \right) = \frac{d}{2r}$$ En mi opinión, esta ecuación en la incógnita $d$ no se puede resolver con funciones elementales.

Solución numérica (búsqueda de raíces):

Con $z = d/(2r)$ obtenemos $$F(z) := \sin\left( \frac{\pi}{6} - z \sqrt{1-z^2} \right) - z = 0$$ y puede aplicar el método Newton o algún otro solucionador para encontrar una raíz.

Máxima da:

$$z \approx 0.2649320846027768$$

Para $r = 1$ esto significa $d = 0.5298641692055537$ .

Pruebas:

Integración numérica de $(*)$ para $r = 1$ da $$A_1 = 0.2617993877991494$$ por otro lado $$\frac{\pi}{12} = 0.2617993877991494$$

Solución numérica (punto fijo):

Otra forma de plantear el problema es como una ecuación de punto fijo:

$$f(z) := \sin\left( \frac{\pi}{6} - z \sqrt{1-z^2} \right) = z$$

Esto se puede resolver ya a grandes rasgos con un programa de trazado de funciones como Gnuplot py la panorámica y el zoom adecuados:

La imagen muestra dónde $y = x$ y $f(x)$ cruz, el $x$ coordenada es el punto fijo. He añadido la versión de la raíz $F(x)$ como el que tiene la raíz allí.

De lo contrario, se puede hacer una iteración de punto fijo (dependiendo de si el punto fijo es atractivo o no, podría ser necesario hacerlo con una transformada $g$ ).

La iteración Newton converge mucho más rápido, lo que significa que necesita menos iteraciones para obtener dígitos del resultado.

Answer 3

Planteando el problema como lo hizo rogerl, hay que resolver para $\theta$ $$f(\theta)=\theta-\sin(\theta)-\frac{2\pi}3=0$$ Por inspección $f(\frac{2\pi}3)=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$ y $f(\pi)=\frac{\pi }{3}>0$ . Por lo tanto, utilice $\theta_0=\frac 12 \Big(\frac{2\pi}3+\pi \Big)=\frac{5\pi}6$ y realizar una iteración del método Newton. Esto dará $$\theta_1=2-\sqrt{3}+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \pi\approx 2.60535$$ mientras que la solución es $\approx 2.60533$ .

Si en lugar de Newton, se utiliza el método Halley, la primera iteración sería $$\theta_1=\frac{9 \left(13+8 \sqrt{3}\right)+\left(354+201 \sqrt{3}-\pi \right) \pi }{18 \left(2+\sqrt{3}\right)^3}\approx 2.60533$$

Otro enfoque podría ser expandir como una serie de Taylor la función alrededor de $\frac{5\pi}6$ . Esto dará $$f(\theta)=\frac{1}{6} (\pi -3)+\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\theta-\frac{5 \pi }{6}\right)+\frac{1}{4} \left(\theta-\frac{5 \pi }{6}\right)^2+O\left(\left(\theta-\frac{5 \pi }{6}\right)^3\right)$$ y resolver la cuadrática $$\theta=\frac{1}{6} \left(-12-6 \sqrt{3}+2 \sqrt{3 \left(9+12 \sqrt{3}+\frac{31104-3456 \pi }{1728}\right)}+5 \pi \right)\approx 2.60533$$

Otro enfoque podría ser construir el aproximante de Pade más simple en $\theta=\frac{5\pi}6$ . Esto daría $$sin(\theta)=\frac{\frac{1}{2}-\frac{7 \left(x-\frac{5 \pi }{6}\right)}{4 \sqrt{3}}}{1-\frac{(x-\frac{5 \pi }{6})}{2 \sqrt{3}}}$$ y entonces el problema se reduce a una ecuación cuadrática, cuya solución es $$\theta=\frac{7}{4}+\sqrt{3}+\frac{3 \pi }{4}-\frac{1}{12} \sqrt{9 \left(97+40 \sqrt{3}\right)+\pi \left(24 \sqrt{3}+\pi-42 \right)}\approx 2.60533$$

Editar

En cuanto a la precisión después de una sola iteración, permítanme dar los valores en función del orden del método iterativo $$\theta_1^{(2)}=\color{red}{2.6053}4733226364$$ $$\theta_1^{(3)}=\color{red}{2.605325}90502067$$ $$\theta_1^{(4)}=\color{red}{2.60532567}596091$$ $$\theta_1^{(5)}=\color{red}{2.6053256746}1355$$ $$\theta_1^{(6)}=\color{red}{2.60532567460}101$$ $$\cdots$$ $$\theta_1^{(\infty)}=\color{red}{2.60532567460090}$$