Deje $f: \Bbb R \to \Bbb R$ ser continuamente una función derivable tal que $|f(x)-f(y)| \ge |x-y| \forall x,y \in \Bbb R$ $f'(x)=\frac 12$

Question

Deje $f: \Bbb R \to \Bbb R$ ser continuamente una función derivable tal que $|f(x)-f(y)| \ge |x-y| \forall x,y \in \Bbb R$ $f'(x)=\frac 12$

A. tiene exactamente una solución

B. no tiene solución

C. tiene una countably número infinito de soluciones

D. tiene una cantidad no numerable de soluciones

Yo elijo la opción B como la respuesta.

Esto es debido a que $\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \ge 1 \forall x,y \in \Bbb R \Rightarrow |f'(x)| \ge 1 \forall x \in \Bbb R \Rightarrow f'(x) \le -1$ o $f'(x) \ge 1 \forall x \in \Bbb R$.

Es esta una forma correcta de enfoque?

Answer 1

Deje $x > y$ ser arbitraria de números y supongamos por contradicción que $f'(t) = \frac{1}{2}$.

A continuación,$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\frac{x - y}{x-y} = \frac{1}{x - y} \int_{y}^{x}\frac{1}{2} dt = \frac{1}{x-y}\int_{y}^{x} f'(t) dt = \frac{f(x) - f(y)}{x - y}$.

De ello se desprende que $\frac{1}{2} = \left|\frac{1}{2} \right| = \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \geq 1 > \frac{1}{2}$, lo cual es absurdo. Por lo tanto, no es ninguna solución.