¿En qué espacios topológicos todo conjunto monocorde es un conjunto cero?

Question

La pregunta del título lo dice todo: si $X$ es un espacio topológico, entonces un subconjunto $Z$ de $X$ es un conjunto cero si existe una función continua $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ con $Z = f^{-1}(0)$ .

Ahora sé lo siguiente:

1) Todo conjunto cero es un subconjunto cerrado.
2) Todo subconjunto cerrado es un conjunto cero si $X$ es perfectamente normal Por ejemplo, si $X$ es metrizable.
3) Todo subconjunto cerrado es una intersección de conjuntos cero si $X$ es Tychonoff.

Lo que quiero saber es si existe una caracterización igualmente limpia de los espacios topológicos $X$ tal que para cada punto $x \in X$ existe una función continua $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ desapareciendo sólo en $x$ . En particular, ¿existe un espacio compacto (¡Hausdorff!) que no tenga esta propiedad?

Añadido : Después de haber recibido algunas respuestas agradables, tal vez debería decir un poco más sobre mi motivo ulterior (que es una especie de motivo en una tetera). Estaba reflexionando sobre una nota reciente de B. Sury en el que demuestra que en el ring $C([0,1])$ de funciones continuas $f: X \rightarrow [0,1]$ para cualquier $c \in [0,1]$ el ideal máximo $\mathfrak{m}_c$ de todas las funciones que desaparecen en $c$ no sólo se genera infinitamente (como es habitual: Creo que esto fue una pregunta en un examen de calificación que hice como estudiante de posgrado) sino que incontablemente generado. Estaba pensando en generalizaciones a anillos de funciones continuas sobre otros espacios $X$ .

Hay, me parece, una pequeña laguna en su prueba: sobre la función $f$ que construye, escribe "ya que $f$ se desvanece sólo en $c$ ". No ha argumentado esto, y dependiendo de las elecciones de la secuencia $\{f_n\}$ , $f$ puede desaparecer en otros puntos. Pero no hay problema: si $\mathfrak{m}_c = \langle f_1,\ldots,f_n,\ldots \rangle$ ya que obviamente hay algunos función continua en $[0,1]$ que sólo desaparece en $c$ (por ejemplo $I(x) = |x-c|$ ), si $\bigcap_{n=1}^{\infty} f_n^{-1}(0) \supsetneq \{c\}$ entonces estas funciones no pueden generar $\mathfrak{m}_c$ .

Si no me equivoco, lo siguiente es una generalización directa del resultado de Sury.

Teorema: Sea $X$ sea un espacio compacto (¡Hausdorff!), y sea $c \in X$ . Supongamos que existe una función continua $I: X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $I^{-1}(0) = \{c\}$ . Entonces lo siguiente es equivalente:
(i) El punto $c$ está aislado en $X$ .
(ii) El ideal $\mathfrak{m}_c$ es principal.
(iii) El ideal $\mathfrak{m}_c$ está generada finitamente.
(iv) El ideal $\mathfrak{m}_c$ está generada de forma contable.

Bueno, este sería un mejor resultado sin la extraña hipótesis sobre la existencia de $I$ . De ahí la pregunta. (Tal vez alguien puede ver una mejor manera de evitar esta hipótesis o sustituirla por algo más natural...)

Por cierto, la compacidad también se siente un poco demasiado fuerte aquí. Esto se utiliza para asegurar que $C(X)$ es un espacio de Banach bajo la norma del supremum, pero tal vez haya una forma de evitarlo también.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $f^{-1}(0)=\{x\}$ entonces existe una secuencia de vecindades $U_n $ de $x$ para que $\{x\}=\bigcap_n U_n$ . En el caso particular de que $X$ es Hausdorff compacto esto implica que $X$ es primero contable. Así que cualquier espacio topológico compacto no contable no tiene esa propiedad. Edita:

Podemos tener una caracterización similar a la 2. Si $X$ es un espacio de Tychonoff, entonces $x$ es un conjunto cero si y sólo si es un $G_\delta$

prueba: Supongamos que $\{x\}=\bigcap_n U_n$ donde $U_n$ es una secuencia decreciente de vecindades abiertas de $x$ . Para cada $n$ existe una función $f_n: X\to [0,1]$ para que $f_n(x)=0$ y $f_n(y)=1 $ para todos $y\in X\setminus U_n$ ( $f_n$ existe desde $X$ es Tychonoff). Ahora, la función $g=\sum_n \frac{1}{2^n} f_n$ cumple con lo siguiente $g^{-1}(0)=\{x\}$ . La otra implicación es trivial.

Answer 2

Esta es una respuesta parcial; proporcionaré un ejemplo de un espacio Hausdorff compacto con un singleton que no es un conjunto cero.

Consideremos un espacio discreto inagotable $X$ y que $X^+$ sea su compactación en un punto. Claramente $X^+$ es Hausdorff compacto.

Afirmamos que el singleton $\{\infty\}$ no es $G_\delta$ y por lo tanto no puede ser un conjunto cero. Si fuera una intersección contable de conjuntos abiertos $U_n$ Cada uno de ellos debe tener un complemento finito. Pero como tomamos $X$ para ser incontable, no podemos esperar conseguir $X\setminus\{\infty\}$ como la unión contable de conjuntos finitos.