¿Cómo se puede demostrar que $tr(B^{T} A )$ es un producto interior?

Question

Considerar la vectorspace de todos los verdaderos $m \times n$ vectores y definir un producto interior $\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(B^T A)$. "tr" es sinónimo de "traza" que es la suma de las entradas de la diagonal de una matriz.

¿Cómo se puede demostrar que $\operatorname{tr}(B^T A)$ es de hecho un producto interior?

Saludos

Answer 1

Para cada $A=(A_{ij}) \in \mathbb{R}^{m\times n}$ hemos $$\langle A,A\rangle=\text{tr}(A^TA)=\sum_{i=1}^n(A^TA)_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mA^T_{ij}A_{ji}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nA_{ij}^2 \ge 0,$$ y $$\langle,Un\rangle=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nA_{ij}^2 = 0\iff (A_{ij}=0 \quad \forall (i,j) \iff=0$$ Desde $$\text{tr}(X^T)=\text{tr}(X), \quad \text{tr}(X+Y)=\text{tr}(X)+\text{tr}(Y), \quad \text{tr}(\lambda X)=\lambda\text{tr}(X)$$ para cada $X,Y \in \mathbb{R}^{n\times n}$, e $\lambda \in \mathbb{R}$, por lo tanto, para cada $A,B, C \in \mathbb{R}^{m\times n}$, e $\lambda \in \mathbb{R}$ hemos $$\begin{eqnarray} \langle A,B\rangle&=&\text{tr}(B^TA)=\text{tr}((B^TA)^T)=\text{tr}(A^TB)=\langle B,A\rangle,\\ \langle \lambda A+B,C\rangle&=&\text{tr}(C^T(\lambda A+B))=\text{tr}(\lambda C^TA+C^TB)=\lambda\text{tr}(C^TA)+\text{tr}(C^TB)\\ &=&\lambda\langle A,C\rangle+\langle B,C\rangle. \end{eqnarray}$$

Answer 2

Desea comprobar todas las propiedades de un verdadero producto interior (ya que estamos buscando en un verdadero espacio vectorial). Mediante su notación $\langle A,B \rangle = \mathrm{tr}(B^T A)$, queremos comprobar que:

1. $\langle A,B \rangle = \langle B,A \rangle$ (simetría).
2. $\langle cA + B, C \rangle = c \langle A,C \rangle + \langle B,C \rangle$ (linealidad)
3. $\langle A, A \rangle > 0$ si $A = 0$ (definición)

Usted tendrá que utilizar algunas de las propiedades de la traza con el fin de demostrar algunas de estas condiciones.