Bifurcación de curvas integrales

Question

Considere el siguiente primer fin de la educación a distancia: $$\frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = x^2 - y^2$$ A pesar del hecho de que esta educación a distancia tiene una muy simple expresión, no es la solución en términos de funciones elementales. (Necesitamos la denominada función de Bessel $J_u(z)$ donde$u \in \mathbb{R}$$z \in \mathbb{C}$.)

He usado Autógrafo para trazar el campo de la dirección y trazar varias curvas integrales.

Hay una clara separación del plano. Su ojo no duda en recoger dos muy fuertemente coloreados curva-como regiones. Los subyacentes de las curvas de formar una bifurcación conjunto: la elección de puntos en cualquiera de los lados dar cualitativamente diferentes curvas integrales a través de esos puntos.

Es allí una manera general para encontrar una ecuación o un parametrisation para la bifurcación? O ¿tenemos que ser capaces de resolver el ODE explícitamente?

Si no es posible encontrar la bifurcación establece explícitamente, entonces hay alguna forma de buscar información, por ejemplo, cómo muchas regiones la bifurcación que separa el plano? (En mi ejemplo, el plano se divide en tres regiones.)

Addendum: he Aquí un argumento para mostrar que las líneas $y = \pm x$ ($x^2-y^2=0$) no tienen significado local a las curvas integrales. Que las líneas de $y=\pm x$ no parecen ser las asíntotas para algunas de las curvas integrales.

Answer 1

Resolución de $\frac{dy}{dx}=x^2-y^2$

Deje $y=\frac{F'}{F}$

$y'=\frac{F''}{F}-\frac{F'^2}{F^2}=x^2-\frac{F'^2}{F^2}$

$$F''-x^2 F=0$$ La solución general de este cilindro parabólico la educación a distancia es : $$F(x)=c_1D_{-1/2}(\sqrt{2}x)+c_2D_{-1/2}(i\sqrt{2}x)$$ donde $D_\nu(x)$ es el cilindro parabólico función. Alternativamente, se puede expresar con funciones de Bessel de orden $\pm\frac{1}{4}$

$$y(x)=\frac{F'}{F}=\frac{c_1\left( x D_{-1/2}(\sqrt{2}x)-\sqrt{2} D_{1/2}(\sqrt{2}x)\right) + c_2\left( -x D_{-1/2}(i\sqrt{2}x)-i\sqrt{2} D_{1/2}(i\sqrt{2}x) \right) }{c_1 D_{-1/2}(\sqrt{2}x)+c_2D_{-1/2}(i\sqrt{2}x)}$$

Tenga en cuenta que sólo hay una constante independiente de $C$ por la simplificación con el éter $C=\frac{c_1}{c_2}$ o $C=\frac{c_2}{c_1}$

Yo de hecho, el propósito es que el comportamiento asintótico de $y(x)$.

El asmptotic expansión del cilindro parabólico función es : $$D_{-1/2}(X)=e^{-X^2/4}\sqrt{X}\left(1-\frac{3}{8}\frac{1}{X^2}+O\left(\frac{1}{X^3} \right) \right)$$

La aplicación de este en las fórmulas de las ecuaciones anteriores $F(x)$$F'(x)$, $y(x)=\frac{F'}{F}$ es una tarea ardua, que conduce a la $$y=\pm \left(x-\frac{1}{2x}-\frac{3}{8x^2}+O\left(\frac{1}{x^3} \right)\right) $$ Las asíntotas son $y=x$ $y=-x$

Por supuesto, uno no debe confundir las asíntotas con el asintótica o "boudary" en las curvas (figura de abajo) : $y=x$ $y=-x$ son asíntotas de ambos límite de curvas y curvas integrales.

NOTA :

El cilindro parabólico funciones están relacionadas con algunas funciones de Bessel. Así, es posible expresar $y(x)$ en formas equivalentes con éter uno u otro de los dos tipos de funciones especiales. La elección del cilindro parabólico conduce a la más simple de cálculo como lo son el estudio de la asympotic comportamiento porque la asintótica de expansión de la serie es más fácil. Por otro lado, implica coeficientes complejos $c_1$ , $c_2$. Así, la fórmula con las funciones de cilindro parabólico no es agradable de usar si queremos calcular valores en particular en el real rango de $y(x)$. Para este propósito diferente, la fórmula con funciones de Bessel es más conveniente : $$y(x)=\frac{\left( C_1\left( x^2 I_{-3/4}(x^2/2)+x^2 I_{5/4}(x^2/2)+I_{1/4}(x^2/2)\right) + C_2\left( x^2 I_{3/4}(x^2/2)+x^2 I_{-5/4}(x^2/2)+I_{-1/4}(x^2/2)\right) \right) }{2 x \left(C_1 I_{1/4}(x^2/2)+C_2 I_{-1/4}(x^2/2) \right)}$$ El símbolo $I$ denota la modificación de funciones de Bessel de primera especie.

Por ejemplo, la siguiente figura muestra la particular curvas correspondientes a $C_1=0$ $C_2=0$ respectivamente.