Considere el siguiente primer fin de la educación a distancia: $$\frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = x^2 - y^2$$ A pesar del hecho de que esta educación a distancia tiene una muy simple expresión, no es la solución en términos de funciones elementales. (Necesitamos la denominada función de Bessel $J_u(z)$ donde$u \in \mathbb{R}$$z \in \mathbb{C}$.)
He usado Autógrafo para trazar el campo de la dirección y trazar varias curvas integrales.
Hay una clara separación del plano. Su ojo no duda en recoger dos muy fuertemente coloreados curva-como regiones. Los subyacentes de las curvas de formar una bifurcación conjunto: la elección de puntos en cualquiera de los lados dar cualitativamente diferentes curvas integrales a través de esos puntos.
Es allí una manera general para encontrar una ecuación o un parametrisation para la bifurcación? O ¿tenemos que ser capaces de resolver el ODE explícitamente?
Si no es posible encontrar la bifurcación establece explícitamente, entonces hay alguna forma de buscar información, por ejemplo, cómo muchas regiones la bifurcación que separa el plano? (En mi ejemplo, el plano se divide en tres regiones.)
Addendum: he Aquí un argumento para mostrar que las líneas $y = \pm x$ ($x^2-y^2=0$) no tienen significado local a las curvas integrales. Que las líneas de $y=\pm x$ no parecen ser las asíntotas para algunas de las curvas integrales.