Quiero encontrar las raíces de $$f(z)=\left[a+zg(z)\right]^2+g(z)^2=0$$
Donde $a$ es un número real y: $$ g(z)=\frac{1}{2\sqrt{z^2+1}}\ln\left(\frac{z+\sqrt{z^2+1}}{z-\sqrt{z^2+1}}\right) $$
Se sabe que $f(z)=0$ tiene dos raíces complejas al $a\in(-\pi/2,\pi/2)$, sin raíces al $a>\pi/2$ y cuatro raíces complejas al $a<-\pi/2$. También dice que las raíces complejas son puramente imaginarios y viene en el conjugado de a pares. (La conclusión puede ser visualizado por el aceptado la respuesta aquí.)
Por ejemplo:
- cuando $a=-\pi$, $z=\pm 8.02398 i, \quad\pm14.5019 i$.
- cuando $a=-\pi/6$, $z=\pm 1.62943 i $
- cuando $a=\pi/6$, $z=\pm 0.556395 i $
Nota si tiene una respuesta analítica en cuenta para la conclusión anterior que usted puede parar aquí y la amabilidad de publicar en una respuesta.
Quiero una más método analítico para llegar a esa conclusión, así que hice esto: $$ a=-\frac{z\pm\mathrm{i}}{2\sqrt{z^2+1}}\ln\left(\frac{z+\sqrt{z^2+1}}{z-\sqrt{z^2+1}}\right). $$ Deje $z=\sinh q$,$\sqrt{z^2+1}=\cosh q$. $$ \ln\left(\frac{z+\sqrt{z^2+1}}{z-\sqrt{z^2+1}}\right)=2q + 2n\pi+\pi i \quad n\in \mathcal{N} $$
Así, obtenemos: $$ a=-\frac{\sinh q \pm i}{\cosh q}(p+n\pi i+ \frac{\pi}{2}i) $$
Deje $p=q+n\pi i+ \frac{\pi}{2}i$,$z=\sinh q = (-1)^{n+1}i\cosh p$, e $\cosh q = (-1)^{n+1} i \sinh p$
Sustituir a la expresión de $a$: $$ a=-\frac{\cosh p\pm 1}{\sinh p}p = -p\coth\frac{p}{2} \qquad\text{o} \qquad -p\tanh\frac{p}{2} $$
Recordemos que $a$ es real, por lo $p$ debe ser puramente real o puramente imaginario(Es esta afirmación verdadera?), pero $z=\pm i \cosh p$ siempre es puramente imaginario. Así que me he demostrado que las raíces deben ser puramente imaginarias.
Si $p=ip_0$ es puramente imaginario, $z=\pm i \cos p_0$. La forma de la ecuación de $a$ lee: $$ a = p_0 \cot \frac{p_0}{2} \quad\text{ or }\quad p_0 \tan \frac{p_0}{2}$$
Primero calculamos $p$ reales y la trama de la RHS de w.r.t $p$:
Al $p=-\pi$, podemos leer en el gráfico, $p=2.77168$ y $3.36624$. $z=\pm \cosh p$ nos dan las cuatro deseada de la raíz. Pero el problema es que, cuando $a\in(-2,-\pi/2)$, no parece sólo un par de raíces a partir de la gráfica.
Al $p=-\pi/6$, podemos leer en el gráfico, que $p=1.07018$, $z=\pm i\cosh p=\pm 1.62943 i$, lo que de nuevo nos da el par deseado de las raíces. Sin embargo, lo que si $a>0$, por ejemplo,$a=\pi/6$, no se puede leer desde este gráfico.
El próximo reconocemos $p=ip_0$:
Hay muchos cruces, leer los que están más cerca de la $y$ eje(no tengo una razón en particular).
cuando $p=\pi/6$, $p_0 = 0.980755$ y $z=\pm i\cos p_0 = \pm 0.556395 i$. Obtenemos los resultados deseados, pero ¿por qué debería elegir el más cercano a la $y$ eje, hay muchas raíces, después de todo. Además, parece que a partir de este gráfico que $a>\pi/2$ todavía tenemos soluciones, que no está bien. También quiero mencionar que, la intersección de azul y naranja líneas tiene la altura de $\pi/2$.
al $p=-\pi/6$ o $-\pi$, nunca podremos obtener los resultados correctos, para $|\cos p_0| <=1$.
La pregunta es de que lo que los defectos ocultos en esta derivación? ¿Cómo puedo solucionarlo para que me puede llegar a la conclusión deseada y los resultados?
