Encuentra los enteros más pequeños $n>1$ tal que $n\mid 2^{n-1}+3.$
Encuentro $n=13957196317$ funciona, pero me pregunto si este es el más pequeño.
Este es mi método:
Si $n$ es primo, entonces $2(2^{n-1}+3)\equiv 2^n+6\equiv 2+6\equiv8 \mod n,$ por lo que $n=2,$ falso.
Si $n=pq$ donde $p,q$ son ambos números primos Impares, entonces $$2^{n-1}+3\equiv 2^{p-1}+3\equiv 0 \mod q\\2^{n-1}+3\equiv 2^{q-1}+3\equiv 0 \mod p,$$
factorización $2^{p-1}+3$ obtenemos algunos factores primos $q$ , si $p\mid 2^{q-1}+3$ entonces $n=pq$ es una solución.
De esta manera consigo $n=61\times 228806497$ y $n=67\times 44210291368986343.$
PD: Podemos demostrar que $GCD(n,30)=1$ .
No hay solución hasta $n=10^8$ Este es mi código de Mathematica (hasta $n=10^7$ ):
Do[If[GCD[n,15]==1 && PowerMod[2,n-1,n]==n-3, Print[n]; Break[]], {n,3,10^7,2}]Actualizaciones:
Gammatester dice que no hay soluciones hasta $n\lt2^{31}-1$
