Simétrica Matrices de $I_{2}$

Question

Encontrar $10$ matrices simétricas $ A = \begin{pmatrix} a &b \\ c&d \end{pmatrix}$ such that $^{2}=I_{2}$

(Yo voy a llamar a la matriz a la "raíz cuadrada" de $A^{2}$. Si este es el nombre incorrecto de la misma, puede alguien por favor decirme lo que se llama en realidad?)

Mi profesor nos planteó esta pregunta en clase y nos dijo que había una cantidad infinita de raíces cuadradas. (Suponiendo que yo entendido correctamente). Sin embargo, yo no veo cómo habría muchos de estos, como yo estaba bajo la impresión de que una matriz que solo tiene una inversa, para $A A^{-1}=I_{n}$. Si alguien me pudiera decir si tengo bien entendido mal el profesor o si estoy pensando en algo incorrecto, por favor me corrija.

Mi otra pregunta es distinto flagrante adivinar y comprobar, hay un método para pensar en estas simétrica de las raíces cuadradas?

Gracias de antemano.

Answer 1

Su profesor está a la derecha, hay un número infinito de raíces cuadradas, una especie de cómo hay dos raíces cuadradas de $1$ (es decir, $1$$-1$).

A ver cómo conseguirlo en general, se observa que, para una matriz simétrica, tiene $$ \begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}a^2+b^2&b(a+c)\\b(a+c)&b^2+c^2\end{pmatrix} $$ Así, por el lado derecho de ser igual a la identidad, debe tener $$ a^2+b^2=1\\ b^2+c^2=1\\ b(a+c) = 0 $$ ¿Qué soluciones se hace este sistema de ecuaciones admitir?

Para demostrar que existen múltiples soluciones directamente, considere la posibilidad de que $$ \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} $$ y por lo que es una raíz cuadrada de la matriz de identidad.

Answer 2

En cuanto a tu pregunta acerca de la inversa de curso $A^2=I$ le dice que $A=A^{-1}$. Pero por diferentes $A$, ninguna contradicción surge.

Edit: en la primera respuesta no me había cuidado para producir matrices simétricas, y estaba usando arbitraria invertible matrices. Lo que se necesita aquí es unitaries (es decir, ortogonal de matrices).

Aquí está uno para construir todas las simétrica real de las matrices con la plaza de la $I_2$. Vamos $$ A_0=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}. $$ A continuación,$A_0^2=I_2$. Ahora definir $$ B_t=\begin{bmatrix}t&\sqrt{1-t^2}\\\sqrt{1-t^2}&-t\end{bmatrix}, \ \ \ t\ \ en(-1,1). $$ and $$ A_t=B_tA_0B_t^{-1} %=\begin{bmatrix}t&-\sqrt{1-t^2}\\\sqrt{1-t^2}&t\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t&\sqrt{1-t^2}\\\sqrt{1-t^2}&-t\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2t^2-1&2t\sqrt{1-t^2}\\2t\sqrt{1-t^2}&1-2t^2 \end{bmatrix} $$ A continuación, $A_t\ne A_s$ cualquier $t,s\in(-1,1)$, e $A_t^2=I_2$ todos los $t\in(-1,1)$ (desde $A_t^2=B_tA_0B_t^{-1}B_tA_0B_t^{-1}=B_tA_0^2B_t^{-1}=B_tB_t^{-1}=I_2$).

Tenga en cuenta que las matrices $B_t$ son todos los reales de rotación de las matrices. Cualquier matriz simétrica $A$ $A^2=I_2$ es la identidad o tiene los autovalores $1,-1$, y es así unitarily equivalente a $A_0$.

Answer 3

Para una fácil construcción, considere las matrices de la forma $A=R_\theta^T\pmatrix{1\\ &-1}R_\theta$ donde $R_\theta=\pmatrix{\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$ es una matriz de rotación de ángulo de $\theta\in[0,\pi)$. Estos $A$s son todos distintos (ejercicio), real simétrica y sus plazas son iguales a $I_2$.

Answer 4

Usted puede hacer esto por escrito las ecuaciones, la escritura de la multiplicación de forma explícita: podrás conseguir cuatro ecuaciones cuadráticas en cuatro variables.

Para una solución geométrica, he aquí una sugerencia: la Reflexión a través de cualquier línea a través del origen sería tan lineal mapa (de la matriz). Por ejemplo, $\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}$ son, respectivamente, la reflexión a través de la $x$-eje y la línea de $y=x$.

Answer 5

Considerar en el plano Euclidiano el ortogonal de reflexión en cualquier línea; su plaza es siempre la identidad. Si desea lineal mapas, tomar un espacio vectorial Euclídeo y elija la línea a pasar por el origen. Que todavía deja una infinidad de posibilidades. De hecho, usted no necesita ortogonal reflexiones, la reflexión en cualquier línea paralela a cualquier línea complementaria tendrá la plaza de la identidad. En otras palabras, hay un montón de libertad, es por eso que en esta configuración nunca se habla de la raíz cuadrada si la identidad. Usted puede llamar a cada uno de ellos una raíz cuadrada de la identidad, aunque el término (lineal) "involución" es más común.