Para encontrar el límite de $\frac{1}{\sin n}+\frac{1}{\cos n}$

Question

¿Cuál debería ser el valor de $\lim (\frac{1}{\cos n}+\frac{1}{\sin n})$ ? Creo que el límite no existe.

Gracias de antemano

Answer 1

Dejemos que $x_n=1/\sin n+1/\cos n$ .

• Los saltos de $n$ a $n+1$ son de tamaño $1$ y el tamaño de un cuadrante es $\pi/2\gt1$ por lo que hay infinitos enteros $n$ tal que $n$ mod $2\pi$ está en cada uno de los cuatro cuadrantes.
• Por cada $n$ en el primer cuadrante $(0,\pi/2)$ mod $2\pi$ Se sabe que $0\lt\cos n\lt1$ y $0\lt\sin n\lt1$ por lo que $1/\cos n\gt1$ y $1/\sin n\gt1$ por lo que $x_n\gt2$ .
• Por cada $n$ en el tercer cuadrante $(\pi,3\pi/2)$ mod $2\pi$ Se sabe que $-1\lt\cos n\lt0$ y $-1\lt\sin n\lt0$ por lo que $1/\cos n\lt-1$ y $1/\sin n\lt-1$ por lo que $x_n\lt-2$ .

Esto demuestra que $(x_n)$ diverge.

Answer 2

Observe que $$\lim (\frac{1}{\cos n}+\frac{1}{\sin n})=\lim \frac{\sin n+\cos n}{\sin n\cos n}=\lim \frac{2\tan \frac n2 - \tan^2 \frac n2 + 1}{2\tan \frac n2}.$$

Si este límite existe, digamos que $A$ . Sea $g(n)=\frac{2\tan \frac n2 - \tan^2 \frac n2 + 1}{2\tan \frac n2}$ . Claramente $\lim g(n)=A$ .

Resolviendo $\tan \frac n2$ en la ecuación $g(n)=\frac{2\tan \frac n2 - \tan^2 \frac n2 + 1}{2\tan \frac n2}$ y encontrar que $\lim \tan\frac n2$ Sin embargo, $\lim \tan \frac n2$ no existe. ¡Una contradicción!

Answer 3

(Esto debería ser un comentario, pero no tengo la reputación necesaria)\N- La solución de Paul podría completarse notando que, aunque la existencia de $ \lim g(n) $ no implica la existencia de $ \lim tan(\dfrac{n}{2}) $ pero sí implica que $ {tan(\dfrac{n}{2})} $ puede separarse en (como máximo) dos secuencias con límites diferentes por el mismo argumento expuesto por Paul ( $tan\frac{n}{2}\neq 0$ para $n\in N$ es una consecuencia de $\pi$ irracional ).\N- La contradicción aparece cuando tenemos en cuenta (como en los comentarios) que $ U=\{n+2k\pi , n\in N\:, k\in Z\} $ es denso en $R^+$ . (Supongamos la existencia de un miembro mínimo positivo de $ U $ y utilizar la división de recordatorio y la irracionalidad de $ \pi $ para obtener una contradicción, y debido a la definición de $ U $ , si $ u\in U $ entonces $ ku\in U, k\in N $ )