Resolver la ecuación exponencial: $3 \cdot 2^{2x+2} - 35 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^{x+1} = 0$

Question

Tengo una ecuación exponencial que no sé cómo resolver: $3 \cdot 2^{2x+2} - 35 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^{x+1} = 0$ con $x \in \mathbb{R}$

He tratado de factorizar un término, pero no sirve de nada. Además, me di cuenta de que: $2 \cdot 9^{x+1} = 2 \cdot 3^{2x+2}$
e intenté escribir el polinomio como un binomio cuadrado, sin éxito.
Sé que debería resolverlo usando el logaritmo, pero no veo cómo continuar.

EDITAR: WolframAlpha factores como: $(3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x)(2^{x+2} - 3^{x+2}) = 0$ y entonces la solución es sencilla. ¿Alguna pista sobre cómo llegar a eso?

Answer 1

$3 \cdot 2^{2x+2} - 35 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^{x+1} = 0 \Rightarrow 12 \cdot 2^{2x} - 35 \cdot 2^x \cdot 3^x + 18 \cdot 3^{2x} = 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow 12 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-35 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x}+18=0 $

Ahora haz la sustitución : $\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = t$ y resolver la ecuación cuadrática .

Answer 2

Puede que la siguiente sustitución tenga que funcionar:

$$2^x=t; ~~3^x=s$$

Nótese que la ecuación se simplifica a, $$12 t^2-35st+ 18s^2=0$$

Esto se factoriza en $$(3t-2s)(4t-9s)=0$$

Por lo tanto,

$$3\cdot2^x=2 \cdot 3^x \text{or}2^{x+2}=3^{x+2}$$ Desde entonces, $(2,3)=1$ tenemos que $\boxed{x=1~~ \text{or}~~-2}$

Editado para añadir:

Puedes verlo como una ecuación cuadrática en $t$ :

Así que la solución tendrá que ser, $$t=\dfrac{35s\pm\sqrt{(-35s)^2-4(12)(18s^2)}}{24}$$

Esto es un poco exigente desde el punto de vista numérico y, sinceramente, yo no lo hice así. Más bien, recurrí a algo que equivale a esto. Hay que escribir $18 \times 12$ como producto de dos números cuya suma es $35$ . Más adelante, añade un signo menos a estos números y utilízalos aquí.

Con un poco de juego, con factorizaciones, verás que deberían ser $27 \times 8$ .

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Añadido por dindoun

$$t=\dfrac{35s\pm\sqrt{(-35s)^2-4(12)(18s^2)}}{24} =\dfrac{35s\pm\sqrt{s^2[(-35)^2-4(12)(18)]}}{24} =\frac{35\pm 54}{24}s = \frac{2}{3}s\ or \frac{9}{4}s$$

Answer 3

$$ \begin{eqnarray} 0 &=& 3 \cdot 2^{2x+2} - 35 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^{x+1} \\&=& 12 \cdot (2^x)^2 - 35 \cdot (2^x3^x) + 18 \cdot (3^x)^2 \\&=& 12 t^2 - 35 st + 18 s^2 \qquad\text{for}\qquad s=3^x,~t=2^x \\&=& (3t - 2s)(4t - 9s) \\ \implies&& s=\frac32t \quad\text{or}\quad s=\frac49t \\&& s=\left(\frac23\right)^\delta t \quad\text{for} \quad\delta=\frac{1\pm3}{2}=-1~\text{or}~2 \\&& 3^x=\left(\frac23\right)^\delta 2^x \\&& 1=\left(\frac23\right)^{x+\delta} \\&& 0=(x+\delta)\log\left(\frac23\right) \\&& x+\delta=0 \\&& x=-\delta=-\frac{1\pm3}{2}=\boxed{~1~\text{or}~-2~} \end{eqnarray} $$ Para hacer la factorización en la cuarta línea, a partir de los signos de los coeficientes $12,-35,18$ , podemos ver que necesitamos encontrar una combinación de los factores de una fila de la izquierda y una fila de la derecha $$ \begin{eqnarray} 1 \cdot 12 &\quad& 1 \cdot 18 \\ 2 \cdot 6 &\quad& 2 \cdot 9 \\ 3 \cdot 4 &\quad& 3 \cdot 6 \end{eqnarray} $$ de modo que la suma de los productos (ya sea de los primeros números con los segundos o de los primeros números con los segundos) es $35$ . Así que tomando $3 \cdot 4$ pour $12$ y $2 \cdot 9$ pour $18$ , podemos obtener $2\cdot 4+3\cdot 9=8+27=35$ para obtener los factores anteriores.

Answer 4

Set $a = 2^x, b = 3^x$ entonces $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x = ab$ y $2^{2x+2} = 2^2 \cdot 2^{2x} = 4 \cdot 2^x \cdot 2^x = 4a^2$ , $9^{x+1} = 9 \cdot 9^x = 9 \cdot 3^x \cdot 3^x = 9b^2$ . Así que obtenemos $$12a^2 - 35ab + 18b^2 = 0.$$ Creo. ¿Qué puedes hacer con eso?

Answer 5

Del usuario21436 tienes

$$t=\dfrac{35s\pm\sqrt{(-35s)^2-4(12)(18s^2)}}{24} =\dfrac{35s\pm\sqrt{s^2[(-35)^2-4(12)(18)]}}{24} =\frac{35\pm 54}{24}s = \frac{2}{3}s\ or \frac{9}{4}s $$