¿Cuál es la principal diferencia entre un espacio vectorial y un campo?

Question

En mi opinión, ambos son casi iguales. Sin embargo, debería haber algunas diferencias, como que dos elementos cualesquiera pueden ser multiplicados en un campo, pero no está permitido en el espacio vectorial, ya que sólo se permite la multiplicación escalar cuando los escalares son del campo.

¿Alguien podría darme al menos un contra-ejemplo donde el campo y el espacio vectorial son ambos iguales. Cada campo es un espacio vectorial, pero no todo espacio vectorial es un campo. Necesito un ejemplo para el cual un espacio vectorial sea también un campo.

Gracias de antemano. (No soy de formación matemática.)

Answer 1

Es cierto que tanto los espacios vectoriales como los campos tienen operaciones que a menudo llamamos multiplicación, pero estas operaciones son fundamentalmente diferentes, y, como usted dice, a veces llamamos a la operación en los espacios vectoriales multiplicación escalar para enfatizar.

Las operaciones en un campo $\mathbb{F}$ son

• $+$ : $\mathbb{F} \times \mathbb{F} \to \mathbb{F}$
• $\times$ : $\mathbb{F} \times \mathbb{F} \to \mathbb{F}$

Las operaciones sobre un espacio vectorial $\mathbb{V}$ sobre un campo $\mathbb{F}$ son

• $+$ : $\mathbb{V} \times \mathbb{V} \to \mathbb{V}$
• $\,\cdot\,$ : $\mathbb{F} \times \mathbb{V} \to \mathbb{V}$

Uno de los axiomas del campo dice que cualquier elemento no nulo $c \in \mathbb{F}$ tiene un inverso multiplicativo, es decir, un elemento $c^{-1} \in \mathbb{F}$ tal que $c \times c^{-1} = 1 = c^{-1} \times c$ . No hay ninguna propiedad correspondiente entre los axiomas de los espacios vectoriales.

Es un ejemplo importante -y posiblemente el origen de la confusión entre estos objetos- que cualquier campo $\mathbb{F}$ es un espacio vectorial sobre sí mismo, y en este caso especial las operaciones $\cdot$ y $\times$ coinciden.

Por otro lado, para cualquier campo $\mathbb{F}$ el producto cartesiano $\mathbb{F}^n := \mathbb{F} \times \cdots \times \mathbb{F}$ tiene una estructura natural de espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$ pero para $n > 1$ no tiene en general una natural regla de multiplicación que satisface los axiomas de campo, y por lo tanto no tiene una estructura de campo natural.

Nota: Como señala @hardmath en los comentarios siguientes, a menudo se puede realizar un espacio vectorial de dimensión finita $\mathbb{F}^n$ sobre un campo $\mathbb{F}$ como campo propio si uno hace elecciones adicionales. Si $f$ es un polinomio irreducible sobre $\mathbb{F}$ , digamos que con $n := \deg f$ entonces podemos formar el conjunto $$\mathbb{F}[x] / \langle f(x) \rangle$$ en $\mathbb{F}$ : Esto sólo significa que consideramos el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en $\mathbb{F}$ y declaramos que dos polinomios son equivalentes si su diferencia es algún múltiplo de $f$ . Ahora, la suma y la multiplicación de polinomios determinan operaciones $+$ y $\times$ en este conjunto, y resulta que porque $f$ es irreducible, estas operaciones dan al conjunto la estructura de un campo. Si denotamos por $\alpha$ la imagen de $x$ bajo el mapa $\mathbb{F}[x] \to \mathbb{F}[x] / \langle f(x) \rangle$ (ya que identificamos $f$ con $0$ podemos pensar en $\alpha$ como raíz de $f$ ), entonces por construcción $\{1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{n - 1}\}$ es una base de (el espacio vectorial subyacente de) $\mathbb{F}[x] / \langle f \rangle$ en particular, podemos identificar el lapso de $1$ con $\Bbb F$ por lo que podemos considerarlo como un subcampo de $\mathbb{F}[x] / \langle f(x) \rangle$ Así pues, llamamos a este último un extensión de campo de $\Bbb F$ . En particular, esta base define un isomorfismo del espacio vectorial $$\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}[x] / \langle f(x) \rangle, \qquad (p_0, \ldots, p_{n - 1}) \mapsto p_0 + p_1 \alpha + \ldots + p_{n - 1} \alpha^{n - 1}.$$ Desde $\alpha$ depende de $f$ Este isomorfismo hace dependen de la elección del polinomio irreducible $f$ de grado $n$ por lo que la estructura de campo definida en $\mathbb{F}^n$ declarando que el isomorfismo del espacio vectorial es un isomorfismo de campo no es natural.

Ejemplo Tomando $\Bbb F := \mathbb{R}$ y $f(x) := x^2 + 1 \in \mathbb{R}[x]$ da un campo $$\mathbb{C} := \mathbb{R}[x] / \langle x^2 + 1 \rangle.$$ En este caso, la imagen de $x$ bajo el mapa cociente canónico $\mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x] / \langle x^2 + 1 \rangle$ se suele denominar $i$ y este campo es exactamente los números complejos, que hemos realizado como un espacio vectorial (real) de dimensión $2$ en $\mathbb{R}$ con base $\{1, i\}$ .

Answer 2

A campo es una estructura algebraica que permite las cuatro operaciones básicas $+$ , $-$ , $\cdot$ y $:\,$ , de manera que se cumplan las reglas habituales del álgebra, por ejemplo, $(x+y)\cdot z=(x\cdot z) +(y\cdot z)$ etc., y la división por $0$ está prohibido. Los elementos de un campo determinado deben considerarse como "números". Los sistemas ${\mathbb Q}$ , ${\mathbb R}$ y ${\mathbb C}$ son campos, pero hay muchos otros, por ejemplo, el campo ${\mathbb F}_2$ compuesto únicamente por los dos elementos $0$ , $1$ y satisfactorio (aparte de las relaciones obvias) $1+1=0$ .

A espacio vectorial $X$ es en primer lugar una "estructura aditiva" que satisface las reglas que asociamos a tales estructuras, por ejemplo $a+({-a})=0$ etc. Además cualquier espacio vectorial tiene asociado un determinado campo $F$ El campo de escalares para ese espacio vectorial. Los elementos $x$ , $y\in X$ no sólo se pueden sumar y restar, sino que también se pueden escalado por "números" $\lambda\in F$ . El vector $x$ escalado por el factor $\lambda$ se denota por $\lambda x$ . Este escalamiento satisface las leyes a las que estamos acostumbrados por el escalamiento de los vectores en ${\mathbb R}^3$ : $$\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y,\qquad (\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x\ .$$

Preguntar "¿Cuál es la diferencia entre un espacio vectorial y un campo?" es similar a preguntar "¿Cuál es la diferencia entre tensión y carga?" en electrodinámica. En ambos casos la respuesta sencilla sería: "Son nociones diferentes que tienen sentido en la misma disciplina".

Answer 3

En pocas palabras, un campo es una estructura en la que se puede sumar, restar, multiplicar y dividir conservando las reglas "normales". Por ejemplo $\mathbb Q$ , $\mathbb R$ y $\mathbb C$ son campos (pero no $\mathbb Z$ ya que no se puede dividir y seguir en $\mathbb Z$ ).

Por otro lado, un espacio vectorial es una estructura "por encima" de un campo en la que se definen las operaciones normales del espacio vectorial y que se relacionan con el campo (llamadas escalares) de la forma que cabría esperar. Deberías poder sumar vectores, y deberías poder multiplicarlos por un escalar con un comportamiento "normal" (fx $0\overline u$ debe ser el vector nulo y $1\overline u=u$ y $(a+b)\overline u = a\overline u + b\overline u$ etc.). Obsérvese que el producto escalar que se va a definir es el que se requiere para calificar como espacio vectorial.

Los espacios vectoriales normales son $\mathbb F^n$ donde $\mathbb F$ es un campo (pero existen espacios vectoriales que no son de dimensiones finitas). Como caso especial, un campo es también un espacio vectorial sobre sí mismo (es decir, con $n=1$ ), porque las reglas de un espacio vectorial no es más que una reducción de las reglas que se aplican a un campo.

Así que el ejemplo que pides es fx $\mathbb R$ .

Answer 4

Una vez que ves un objeto como un campo, dejas de verlo como un espacio vectorial sobre algo más pequeño o sobre sí mismo:

1. Cualquier campo es un espacio vectorial sobre sí mismo.
2. Si $\mathbb{K}$ entonces $\mathbb{K}[x]$ es el espacio vectorial de todos los polinomios con coeficiente en $\mathbb{K}$ . Este conjunto es un álgebra pero no un campo. Sea $g$ sea un polinomio irreducible en $\mathbb{K}[x]$ entonces definimos el subespacio vectorial lineal $A_g=\{p(x)\in\mathbb{K}[x]:p(x)=g(x)q(x)\text{ for some }q\in\mathbb{K}[x]\}$ (que es un ideal) y luego el cociente $\mathbb{K}/A_g$ es un campo. (por ejemplo $\mathbb{C}$ se construye así sobre el polinomio $x^2+1$ .)
3. El espacio de todas las funciones meromorfas sobre una superficie de Riemann es un campo y un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ .
4. El espacio de la función racional sobre un campo $\mathbb{K}$ , anotado como $\mathbb{K}(x)$ forman un campo. (este caso coincide con el del punto 3 cuando la superficie de Riemann es una esfera).

En general, un espacio vectorial es el conjunto de funciones de un conjunto a un campo. Sea $A$ sea un conjunto cualquiera y $\mathbb{K}$ un campo, entonces: $$V=\{f:A\to\mathbb{K}\}$$ es un espacio vectorial con las operaciones inducidas por las operaciones de campo. Mientras que un campo es el mismo conjunto con una propiedad adicional de multiplicación que debe formar un grupo al eliminar el vector cero.

Answer 5

$\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ son campos y espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ . En general, cualquier campo es un espacio vectorial sobre sus subcampos. Esto es sencillo de demostrar.