Intuición física para la deformación de la cuantización de Poisson colectores

Question

Primero de todo, yo sabemos casi nada acerca de la física. Estaba leyendo Kontsevichs papel en la Deformación de la cuantización de Poisson colectores, sin embargo, no pude averiguar cuál es la intuición para tal operación.

Por qué no existe la palabra "cuantización" y la constante de Planck en el producto estrella? ¿Dónde está la física en tales formales deformación del álgebra $\mathscr{A} = \mathscr{C}^{\infty}(M)$ ?

De hecho, la única cosa que puedo entender es la "deformación" de la parte, ya que (si no me equivoco) se ve como una deformación de $\mathscr{A}$ a lo largo de la 2-cocycle $\{ \cdot, \cdot\}$ de la Hochschild cochain complejo.

Otra cosa, que nunca tuve: ¿por qué es la deformación se realiza sólo en el global de las secciones y no en toda la gavilla $\mathscr{C}^{\infty}$?

Answer 1

Cuantización generalmente significa que la asociación de un espacio de Hilbert para el clásico espacio de fase (en nuestro caso de Poisson del colector). Sin embargo, en la deformación de cuantización, esta tarea se consigue indirectamente, primero a través de la construcción de un asociativa $C^*$ álgebra, en este caso la deformación álgebra de funciones equipado con un producto estrella que sirve como la asociativa del producto de la $C^*$ álgebra. Esta álgebra es dependiente de un parámetro formal de $\hbar$. Una vez asociativa $C^*$ álgebra se construye un espacio de Hilbert de representación puede ser construido, en principio, por $C^*$ técnicas algebraicas tales como el GNS de la construcción. Por favor, véase por ejemplo el siguiente artículo de Stefan Waldmann.

La motivación de la deformación de cuantización es que en muchos de los modelos de la física, la serie de Taylor con respecto a la constante de Planck $\hbar$ da una viable la deformación de cuantización. El prototipo de un explícitamente conocido como producto estrella, cuya serie de Taylor en $\hbar$ define una deformación de la cuantización es el producto de Moyal en $\mathbb{R}^{2n}$. También, existe la Gutt producto estrella en los duales de álgebras de Lie, por favor, consulte el siguiente artículo de Monvel. Hay también, la Mecha y Anti-la Mecha de los productos estrella y sus las generalizaciones en Berezin de cuantización de Kähler colectores. Por favor, ver por ejemplo este artículo por Bordemann, Brischle, Emmrich, Waldmann. Otro conocido de la construcción de geométrico de origen es el Fedosov producto estrella, por favor consulte el siguiente Felipe Tillman de la tesis .

El Hoschild cierre de la deformación de las cadenas es necesaria para asegurar la forma asociativa de la estrella de producto, por favor consulte el siguiente artículo : McCurdy y Zumino (aunque el tratamiento de un caso especial, pero la relación entre el cierre y la forma asociativa está aclarado).

En Kontsevich de la construcción, las secciones deben ser global, debido a que la construcción se realiza de forma local para $\mathbb{R}^d$, y hay una necesidad de globalizar a un general de Poisson colector.