Feynman técnica de integración por $\int^\infty_0 \exp\left(\frac{-x^2}{y^2}-y^2\right) dx$

Question

He estado aprendiendo una técnica que Feynman se describe en algunos de sus libros para integrar. La fuente se puede encontrar aquí:

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-304-undergraduate-seminar-in-discrete-mathematics-spring-2006/projects/integratnfeynman.pdf

Los primeros ejemplos son integrales en $x$ $y$ variables, y no veo una buena manera de simplificar el uso de la diferenciación, en particular el ejemplo:

$$\int^\infty_0 \exp\left(\frac{-x^2}{y^2}-y^2\right) dx$$

Answer 1

Supongamos que la integral se $I=\int_0^{\infty} e^{-y^2-\frac{x^2}{y^2}}dy$. A continuación, tomamos nota de que $y^2+\frac{x^2}{y^2}=\left(y-\frac{|x|}{y}\right)^2+2|x|$.

Por lo tanto, hemos

$$I=e^{-2|x|}\int_0^{\infty}e^{-\left(y-\frac{|x|}{y}\right)^2}dy \tag 1$$

Ahora, suplente $y\to |x|/y$, de modo que $dy\to -|x|dy/y^2$. A continuación,

$$I=e^{-2|x|}\int_0^{\infty}\frac{|x|}{y^2}e^{-\left(y-\frac{|x|}{y}\right)^2}dy \tag 2$$

Si añadimos $(1)$ y (2), nos encontramos con

$$\begin{align} I&=\frac12\,e^{-2|x|}\int_0^{\infty}\left(1+\frac{|x|}{y^2}\right)e^{-\left(y-\frac{|x|}{y}\right)^2}dy \\\\ &=\frac12\,e^{-2|x|}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\\\ &=e^{-2|x|}\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align}$$

Así que, aunque no bastante "Feynmann" truco, es una manera eficaz de evaluación.

Answer 2

Miré a través del papel y ver que el "Feynman Técnica" es en realidad sólo una inteligente aplicación de la regla de Leibniz para la toma de derivados en virtud de las integrales. Como se señaló en los comentarios, la parte interesante de esto es la evaluación de $$\int_0^\infty \exp^{-x^2} dx$$ using the technique. The paper is a bit misleading for this one since all the other examples added a function of $b$ en el integrando, pero que no parece ser la manera correcta de hacerlo. En lugar de considerar: $$I(b) = \left(\int_0^b \exp^{-x^2} dx\right)^2$$ En última instancia, se pretende evaluar que en $b = \infty$ y tomar su raíz cuadrada.

El pleno de la derivación del resultado puede ser encontrado aquí. Que papel se explica esto en términos de la regla de Leibniz y da otras interesantes derivaciones de diferentes integrales.