¿Cómo calcula una calculadora el seno, coseno y tangente usando solo un número?

Question

• Seno $\theta$ = opuesto/hipotenusa
• Coseno $\theta$ = adyacente/hipotenusa
• Tangente $\theta$ = opuesto/adyacente

Para calcular el seno, el coseno o la tangente necesito conocer $3$ lados de un triángulo rectángulo. $2$ para cada función trigonométrica correspondiente. ¿Cómo calcula una calculadora el seno, coseno, tangente de un número (que en realidad es un ángulo) sin conocer ninguno de los lados?

Answer 1

Las calculadoras utilizan la Serie de Taylor para $\sin / \cos$ o el algoritmo CORDIC. Existe mucha información sobre la Serie de Taylor, así que explicaré CORDIC en su lugar.

La entrada requerida es un número en radianes $\theta$, que está entre $-\pi / 2$ y $\pi / 2$ (a partir de esto, podemos obtener todos los demás ángulos).

Primero, debemos crear una tabla de $\arctan 2^{-k}$ para $k=0,1,2,\ldots, N-1$. Esto generalmente se precalcula utilizando la Serie de Taylor y luego se incluye en la calculadora. Sea $t_i = \arctan 2^{-i}$.

Considera el punto en el plano $(1, 0)$. Dibuja el círculo unitario. Ahora, si podemos hacer que el punto forme un ángulo $\theta$ con el eje $x$, entonces la coordenada $x$ es el $\cos \theta$ y la coordenada $y$ es el $\sin \theta$.

Ahora debemos de alguna manera hacer que el punto tenga un ángulo $\theta$. Hagámoslo ahora.

Considera tres secuencias $\{ x_i, y_i, z_i \}$. $z_i$ nos dirá en qué dirección girar el punto (en sentido antihorario o en sentido horario). $x_i$ e $y_i$ son las coordenadas del punto después de la $i$-ésima rotación.

Sea $z_0 = \theta$, $x_0 = 1/A_{40} \approx 0.607252935008881$, $y_0 = 0$. $A_{40}$ es una constante, y usamos $40$ porque tenemos $40$ iteraciones, lo que nos dará $10$ dígitos decimales de precisión. Esta constante también se precalcula1.

Ahora, sea:

$$z_{i+1} = z_i - d_i t_i$$ $$x_{i+1} = x_i - y_i d_i 2^{-i}$$ $$y_i = y_i + x_i d_i 2^{-i}$$ $$d_i = \text{1 si } z_i \ge 0 \text{ y -1 en cualquier otro caso}$$

A partir de esto, se puede demostrar que $x_N$ y $y_N$ eventualmente se convierten en $\cos \theta$ y $\sin \theta$, respectivamente.

1: $A_N = \displaystyle\prod_{i=0}^{N-1} \sqrt{1+2^{-2i}}$

Answer 2

Siempre me pregunté lo mismo, hasta que asistí a mi primera clase de cálculo.

Como Julien señaló acertadamente. Utiliza series de potencias de $\sin x, \cos x$ etc, para calcular solo de manera aproximada el valor de los ángulos (en radianes) que ingreses. Puedes leer más al respecto aquí. Y las series de potencias de $\tan x, \sec x$ y $\text{cosec } x$ se proporcionan aquí.

Answer 3

La mayoría de las implementaciones de libm para gcc utilizan polinomios de Chebyshev. Es más rápido que las series de Taylor/Maclaurin y más preciso que los Cordics.