Encontrar todas las matrices de satisfacciones $X^3=I-X$

Question

Estamos estudiando para un examen de calificación y se ha topado con el siguiente problema en un examen anterior.

Determinar las soluciones (si existen) de la ecuación de matriz $X^3=I-X$ $2 \times 2$- matrices de más de $\mathbb{R}$.

Cualquier sugerencias en la dirección correcta sería mucho aprecio por este.

Answer 1

Sugerencia: La matriz satisface $X^3+X-I=0$. ¿Qué se puede decir acerca de la mínima polinomio?

Answer 2

La ecuación es $x^3+x-1=0$ ahora de dos en dos de la matriz tiene un mínimo polinomio de grado $\leq 2$. Así que cuadrática o lineal de los polinomios de dividir tbe arriba cúbicos ?

Answer 3

Sugerencia

Usted puede empezar a mirar los autovalores de a $X$. ¿Qué tipo de relación hay? Puede encontrar los autovalores de a $X$?

Answer 4

Tenga en cuenta que este polinomio tiene una raíz real y dos complejos conjugados. Para una verdadera matriz, si una de las soluciones complejas es un autovalor lo es el otro. Un real $2 \times 2$ matriz de autovalores $a \pm bi$ es $$ \pmatrix{ s & t \cr -((a-s)^2 + b^2)/t & 2a - s }$$ para arbitrario $s$$t \ne 0$.

Por otro lado, si la raíz real $r$ es un valor propio, es el único, y tiene multiplicidad geométrica $2$, por lo que la matriz es $r I$.