La existencia de un número infinito de números enteros $n$ tal que $2^n$ termina con $n$

Question

Puede alguien por favor que me ayude en la siguiente prueba:

Demostrar que existen infinitos números enteros positivos $n$ tal que $2^n$ termina con $n$ en notación decimal, es decir,$2n = \ldots n$.

Answer 1

Sugerencia:

$$2^{36} = \dots 36$$ $$2^{736} = \dots 736$$ $$2^{8736} = \dots 8736$$ $$2^{48736} = \dots 48736$$ $$\dots$$ $$2^{5075353432948736} = \dots 5075353432948736$$ (Me gustaría añadir algo más, pero hay un importante partido de fútbol, pasando por el momento)

Editar:

(No estoy seguro si esto es una tarea de la pregunta, o en un concurso de la pregunta, así que otra pista)

Usted podría tratar de demostrar que los $2^{10^m}\equiv 1 \pmod{5^m}$ $m\geq2$ (por inducción).

Answer 2

Desde $\phi(5^{n+1})=4\cdot5^n$ $n\ge2.$ $$ 2^{10^n}\equiv1\pmod{5^{n+1}}\etiqueta{1} $$ Supongamos que para algunos $n\ge2$, $$ 2^k\equiv k\pmod{10^n}\quad\text{y}\quad k\equiv0\pmod{2^n}\etiqueta{2} $$ entonces, por alguna $0\le a\lt5$, tenemos $$ 2^k\equiv a5^n+k\pmod{5^{n+1}}\etiqueta{3} $$ Multiplicando $(3)$ por una potencia de $(1)$ rendimientos $$ 2^{d10^n+k}\equiv a5^n+k\pmod{5^{n+1}}\etiqueta{4} $$ Utilizando el Teorema del Resto Chino, podemos encontrar $0\le d\lt10$, de modo que $$ \begin{align} d&\equiv a3^n&\pmod{5}\tag{5}\\ d&\equiv k/2^n&\pmod{2}\tag{6} \end{align} $$ $(5)$ implica que el$a\equiv d2^n\pmod{5}$, lo que implica $$ a5^n\equiv d10^n\pmod{5^{n+1}}\etiqueta{7} $$ $(4)$ $(7)$ de rendimiento $$ 2^{d10^n+k}\equiv d10^n+k\pmod{5^{n+1}}\etiqueta{8} $$ $(6)$ implica que el$d5^n+k/2^n\equiv0\pmod{2}$, lo que implica $$ d10^n+k\equiv0\pmod{2^{n+1}}\etiqueta{9} $$ $2^k\equiv k\pmod{10^n}\Rightarrow k\gt0$. Por lo tanto, $(9)$ implica $d10^n+k\ge2^{n+1}$, lo que implica $$ 2^{d10^n+k}\equiv0\pmod{2^{n+1}}\etiqueta{10} $$ Por lo tanto, $(9)$ $(10)$ da $$ 2^{d10^n+k}\equiv d10^n+k\pmod{2^{n+1}}\etiqueta{11} $$ Así, $(8)$, $(9)$, y $(11)$ el rendimiento de la $n+1$ equivalente a $(2)$: $$ 2^{d10^n+k}\equiv d10^n+k\pmod{10^{n+1}}\quad\text{y}\quad d10^n+k\equiv0\pmod{2^{n+1}}\etiqueta{12} $$ donde $d$ se calcula a partir de $(3)$, $(5)$, y $(6)$.

La iteración $(3)$, $(5)$, $(6)$, y $(12)$, da una secuencia de $k$ que satisfacer $(2)$.

---

Ejemplo

Para $n=2$ sólo $k=36$ satisface $(2)$.

$2^{36}\equiv3\cdot5^2+36\pmod{5^3}$, lo $a=3$. Por lo tanto, tenemos que resolver $$ \begin{align} d&\equiv 3\cdot3^2\equiv2&\pmod{5}\\ d&\equiv 36/2^2\equiv1&\pmod{2} \end{align} $$ por lo $d=7$, y el siguiente término en la secuencia es$k=736$$n=3$.

$2^{736}\equiv4\cdot5^3+736\pmod{5^4}$, lo $a=4$. Por lo tanto, tenemos que resolver $$ \begin{align} d&\equiv 4\cdot3^3\equiv3&\pmod{5}\\ d&\equiv 736/2^3\equiv0&\pmod{2} \end{align} $$ por lo $d=8$, y el siguiente término en la secuencia es$k=8736$$n=4$.

$2^{8736}\equiv4\cdot5^4+8736\pmod{5^5}$, lo $a=4$. Por lo tanto, tenemos que resolver $$ \begin{align} d&\equiv 4\cdot3^4\equiv4&\pmod{5}\\ d&\equiv 8736/2^4\equiv0&\pmod{2} \end{align} $$ por lo $d=4$, y el siguiente término en la secuencia es$k=48736$$n=5$.

$2^{48736}\equiv3\cdot5^5+48736\pmod{5^6}$, lo $a=4$. Por lo tanto, tenemos que resolver $$ \begin{align} d&\equiv 3\cdot3^5\equiv4&\pmod{5}\\ d&\equiv 48736/2^5\equiv1&\pmod{2} \end{align} $$ por lo $d=9$, y el siguiente término en la secuencia es$k=948736$$n=6$.

etc.