Básicos De Álgebra Lineal De La Prueba Vectores Ortogonales

Question

Probar que si $\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$ son cero vectores ortogonales en $\Bbb R^n$ son linealmente Independientes.

He luchado con esto un poco, aquí está lo que sabemos hasta ahora:

Supongamos $\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$ son ortogonales. A continuación, $\mathbf{u\cdot v}=0$ y $c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}=0$ es linealmente Independiente iff $c_1=c_2=0$

Yo sé que tengo que terminar con $c_1=c_2=0$ pero no puedo encontrar un camino que llega a esta conclusión. Me siento como que necesito usar las propiedades del producto escalar para conectar mi primera suposición a mi segunda suposición, pero estoy perdido en el camino.

Answer 1

Sugerencia: Calcular: $$ (c_1 \mathbf{u} + c_2 \mathbf{v}) \cdot \mathbf{u} $$

¿Qué concluye acerca de la $c_1$? Hacer algo similar para $c_2$.

Answer 2

A continuación, $c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}=0$ es linealmente Independiente iff $c_1=c_2=0$

Esto en realidad no tienen sentido: $c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}=0$ algo que no puede ser linealmente independientes. Independencia lineal es una propiedad de los conjuntos de vectores; $c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}=0$ es una ecuación con vectores, pero no es un conjunto de vectores.

La afirmación correcta es que el conjunto $\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$ es linealmente independiente (o, de manera más informal, que los vectores $\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$ son linealmente independientes) iff tiene la siguiente propiedad:

si $c_1$ $c_2$ son escalares tales que $c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}=0$,$c_1=c_2=0$.

El problema, entonces, es mostrar que si $\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$ son ortogonales, y si $c_1$ $c_2$ son escalares tales que $c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}=0$,$c_1=c_2=0$.

Para ello, suponga que $c_1$ $c_2$ son escalares tales que $c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}=0$. Ahora aplicar la sugerencia de que Ayman Hourieh dio en su respuesta a mostrar que $c_1=0$$c_2=0$.

Answer 3

Sólo el uso de contradicción. Si $u,v$ son linealmente dependientes y distinto de cero, entonces a $u = cv$ (nota: $c$ es una función de su $c_1,c_2$). A continuación, $u\cdot v \neq 0 \rightarrow$ contradicción.