Estoy confundido acerca de la Radon-Nikodym Teorema, debido a que de el ejemplo siguiente, que vino a mi mente. Lo que está mal en mi argumento?
Considere la posibilidad de $X=[0,1]$ $\sigma$- álgebra de Borel medible conjuntos. Deje $m$ ser la medida de Lebesgue en $[0,1]$, y deje $\mu$ ser definido por $$\mu(E)=\text{counting measure}(E\cap\mathbb{Q}),$$ es decir, $\mu$ cuenta el número de puntos racionales en $E$. A continuación, $\mu$ positivo $\sigma$-finito medida porque dejando $\mathbb{Q}=\{r_n\}_{n=1}^\infty$ tenemos $$[0,1]=([0,1]\cap\mathbb{Q}^c)\cup\bigcup_{n=1}^\infty\{r_n\}.$$ Ahora, $m\ll \mu$, por lo que por el Radon-Nikodym teorema existe $h\in L^1(\mu)$ tal que $$m(E)=\int_E hd\mu,\tag{1}$$ para todos los conjuntos medibles $E\subseteq[0,1]$.
Pero luego tenemos el problema: Para todos los $x\in\mathbb{Q}$, obtenemos $$0=m(\{x\})=\int_{\{x\}}hd\mu=h(x)\mu(\{x\})=h(x),$$ por lo $h=0$$\mathbb{Q}$. Pero $\mu$ se concentra en $\mathbb{Q}$, por lo que (1) muestra que el $m=0$.
Qué tiene de malo?
