Función zeta de Riemann en enteros positivos Impares

Question

Partiendo del famoso problema de Basilea, Euler evaluó la función zeta de Riemann para todos los enteros positivos pares y el resultado es una expresión compacta que involucra a los números de Bernoulli. Sin embargo, la evaluación de la función zeta en los enteros positivos Impares (en términos de obtener una suma de forma cerrada) sigue abierta. Ha habido algunos avances en forma de teorema de Apery y otros resultados como "infinitos de $\zeta(2n+1)$ son irracionales" o "al menos uno de $\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9)$ o $\zeta(11)$ es irracional".

Pregunta(s): ¿Existe una comprensión de alto nivel para esta disparidad entre enteros pares e Impares? ¿Se trata de que haya una expresión sencilla para $\zeta(3)$ que está ahí fuera esperando un ataque ingenioso como el que hizo Euler con $\zeta(2)$ ? ¿O es la creencia de que tal suma de forma cerrada es improbable? ¿Dónde están las muchas pruebas lo suficientemente potentes como para evaluar $\zeta(2n)$ tropiezan cuando se trata de evaluar $\zeta(2n+1)$ ?

Motivación: El problema de Basilea y la solución de Euler son mis favoritos de todos los tiempos por el factor sorpresa y la ingeniosidad de la prueba (¿qué $\pi$ y $\frac{sin(x)}{x}$ tienen que ver con $\zeta(2)$ ??). Sin embargo, actualmente carezco de las herramientas de análisis más avanzadas para apreciar los resultados más profundos de esta área. Me he preguntado durante un tiempo sobre las preguntas anteriores y la búsqueda en Internet no ha ayudado mucho. Agradecería mucho cualquier respuesta/referencia. Gracias.

Answer 1

La función zeta se define como una suma sobre los enteros positivos, pero en lo que respecta a su evaluación, resulta más natural pensar en ella como una suma sobre todos los enteros distintos de cero; por lo tanto, deberíamos pensar en $\sum_{n \neq 0} \frac{1}{n^k}$ . Para $k$ incluso esto es sólo $2 \zeta(k)$ y hay varias formas de evaluar esta suma más simétrica, por ejemplo, escribiendo una función meromorfa con los polos adecuados, o una serie de Fourier con los coeficientes adecuados, etc. Pero para $k$ ¡impar esto es igual a cero, ya que los términos se cancelan con sus negativos! Escrita de este modo, la función zeta en enteros pares revela su alter ego como una Serie Eisenstein en una dimensión.

Este fenómeno de cancelación ocurre en la "prueba" clásica de Euler, ya que el producto infinito para $\sin z$ que utiliza tiene ceros en todos los múltiplos enteros de $\pi$ no sólo las positivas. También ocurre en la prueba general que procede considerando la función generadora $\frac{z}{e^z - 1}$ para el Números de Bernoulli . Como ya sabrán, la forma cerrada de $\zeta(2k)$ implica números de Bernoulli, y de nuevo $\frac{z}{e^z - 1}$ tiene polos en $2 \pi i n$ para todos los enteros no nulos $n$ no sólo las positivas. Describo cómo funciona esto con un poco más de detalle aquí .

Otra forma de pensar en la diferencia entre los casos pares e Impares es que se puede pensar en los casos pares como $L^2$ normas de las series de Fourier apropiadas; así es precisamente como una prueba estándar de la evaluación de $\zeta(2)$ obras. Pero para los casos de impar no tenemos un $L^2$ norma; en su lugar obtenemos un misterioso producto interno.

Answer 2

Se espera que las cifras $\zeta(2n+1)$ son algebraicamente independientes entre sí, y de $\pi$ por lo que hay que pensar en ellos como números ``nuevos''; no se puede esperar ninguna expresión de forma cerrada en términos de potencias de $\pi$ digamos. Desgraciadamente, esta conjetura parece estar muy lejos de la realidad por el momento.

Para explicar por qué la gente cree en esta conjetura, se puede ver por ejemplo esta respuesta a una pregunta relacionada de mathoverflow.

Answer 3

¿Has mirado este documento del ICM antes. Ramanujan ha encontrado una fórmula extraña. El documento no es viable para leer. Pero supongo que esto dará una idea de los progresos realizados en relación con este problema.

Añadido: Intenta enviar un correo electrónico al profesor Bruce Berndt. Como esto está relacionado con Ramanujan, estoy seguro de que él podría saber algo en este sentido. Otra buena fuente de información que seguro que te gustaría leer son: -

• Los números de Bernoulli y la función Zeta de Riemann por B.Sury.

• Una nota sobre el valor de la función Zeta de Riemann en números enteros positivos Impares por Andrzej Dabrowski.

Answer 4

¿Dónde tropiezan las muchas pruebas suficientemente potentes para evaluar (2n) cuando se trata de evaluar (2n+1)?

Otro método para evaluar $ \zeta(2n) \ $ que aún no se ha mencionado es aplicando el Teorema de Parseval a la serie de Fourier del Polinomios de Bernoulli . Los coeficientes de Fourier de $ B_n\ $ tienen la forma $ c_k = (constants)\cdot \frac{1}{k} $ . Por el Teorema de Parseval, $$ \int_0^1 |B_n(t)|^2 dt = \sum_{k\neq0} |c_k|^2 $$ $$ (constant) = (more\ constants) \sum_{k\neq0} \frac{1}{k^{2n}} $$ (Nótese que las constantes dependen de n)
La razón por la que este método falla para los enteros Impares es que, como el Teorema de Parseval implica elevar al cuadrado los coeficientes, no hay forma de meter las potencias Impares en la suma.

Answer 5

Zeta de Riemann en números enteros pares

Una de las razones por las que $\zeta(2k)$ tiene una bonita forma cerrada es porque $$ \require{enclose} \newcommand{\Res}{\operatorname*{Res}} \lim_{R\to\infty}\int_{|z|=R}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2k}}\,\mathrm{d}z=0\tag1 $$ y el residuo de $\pi\cot(\pi z)$ es $1$ en cada número entero. Como la integral en $(1)$ es $2\pi i$ veces la suma de los residuos dentro de $|z|=R$ obtenemos $$ \zeta(2k)=-\tfrac12\Res_{z=0}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2k}}\tag2 $$ Como se muestra en esta respuesta podemos encontrar una recurrencia para los coeficientes de $z\cot(z)$ lo que lleva a una recurrencia para $\zeta(2k)$ .

Este enfoque falla si utilizamos $2k+1$ en lugar de $2k$ . Sumando sobre los recíprocos de todos los enteros no nulos con exponente impar se obtiene una suma de $0$ . Esto concuerda con el hecho de que el residuo de una función par en $z=0$ es $0$ .

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Un enfoque alternativo

La función $\pi\sec(\pi z)$ tiene un residuo $(-1)^n$ en $z=n-\frac12$ para $n\in\mathbb{Z}$ . De este modo se obtienen residuos opuestos en $z=n-\frac12$ y $z=-n+\frac12$ . Esto es bueno para sumar funciones impar. $$ \begin{align} 0 &=\frac1{2\pi i}\lim_{R\to\infty}\int_{|z|=R}\frac{\pi\sec(\pi z)}{z^{2k+1}}\,\mathrm{d}z\\ &=\Res_{z=0}\frac{\pi\sec(\pi z)}{z^{2k+1}}+2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\left(\small{n-\frac12}\right)^{2k+1}}\\ &=\Res_{z=0}\frac{\pi\sec(\pi z)}{z^{2k+1}}+4^{k+1}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n-1)^{2k+1}}\\ &=\Res_{z=0}\frac{\pi\sec(\pi z)}{z^{2k+1}}-4^{k+1}\beta(2k+1) \end{align} $$ donde $\beta(s)$ es el Función beta de Dirichlet . Algunos valores y una recursión para todos los argumentos pares pueden encontrarse en esta respuesta .

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Un ataque unilateral a Zeta

La función $\pi\tan(\pi z)$ tiene un residuo $-1$ en $z=n-\frac12$ para $n\in\mathbb{Z}$ . De este modo se obtienen residuos idénticos en $z=n-\frac12$ y $z=-n+\frac12$ . Esto es bueno para sumar funciones pares. $$ \begin{align} 0 &=\frac1{2\pi i}\lim_{R\to\infty}\int_{|z|=R}\frac{\pi\tan(\pi z)}{z^{2k}}\,\mathrm{d}z\\ &=\Res_{z=0}\frac{\pi\tan(\pi z)}{z^{2k}}+2\sum_{n=1}^\infty\frac{-1}{\left(\small{n-\frac12}\right)^{2k}}\\ &=\Res_{z=0}\frac{\pi\tan(\pi z)}{z^{2k}}-2^{2k+1}\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)^{2k}}\\ &=\Res_{z=0}\frac{\pi\tan(\pi z)}{z^{2k}}-\left(2^{2k+1}-2\right)\zeta(2k) \end{align} $$ donde $\zeta(s)$ es el Función zeta de Riemann .

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Un resultado unificado

El siguiente es un múltiplo racional de $\pi^k$ $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{nk}}{(2n+1)^k} $$ Esto se evalúa como $\beta(k)$ para impar $k$ y $\left(1-2^{-k}\right)\zeta(k)$ para incluso $k$ .