¿Este producto interior en $L^1([0,1])$ tiene un nombre?

Question

Matemáticas personas:

Para $f, g \in L^1([0,1])$, definir

$$\langle f,g \rangle = \int_0^1 \int_0^1 f(t)g(t')\exp(-|t-t'|)dt'\,dt.$$

Aunque normalmente no nos damos de $L^1([0,1])$ como un producto interior en el espacio, este es un producto interior en $L^1([0,1])$. El único requisito que no es trivial comprobar que es positivo-definición: $\langle f, f \rangle > 0$$f \neq 0$. Esto requiere de un sencillo argumento que lleva a la integración por partes.

Mi pregunta es, se ha hecho esto antes? ¿Esto tiene un nombre? Usted puede utilizar un intervalo distinto de $[0,1]$ y el uso de una suma de varios positivamente ponderado de las funciones exponenciales si quieres, pero yo quería darle la más simple posible ejemplo.

Answer 1

Podemos pedir que los núcleos $K(x,y)$ (con propiedad de simetría $K(x,y)=K(y,x)$ o hermitian simetría, si de valores complejos) son "positivo-definida" en el sentido de que $\int\int f(x)\overline{f(y)}K(x,y)\,dx\,dy\ge 0$.

El pensamiento de lo finito-dimensional (=matriz) analógica, sin duda la positividad de las entradas no es ni necesaria ni suficiente para garantizar positivo de la certeza. Más bien, la diagonal entradas deben suficientemente "dominar" a las otras entradas (y de ser positiva de sí mismos).

El caso más simple sería que $K(x,y)$$\delta_{x-y}$, es decir, delta de Dirac a lo largo de la diagonal (pensando en términos de Schwartz núcleo teorema). Este es el núcleo de la identidad de mapa, de hecho, y $\int f(x)\overline{f(x)}\;dx\ge 0$ como se desee.

El ejemplo a la mano, y una variedad de otros, son "funciones de Green" para "definir" los operadores diferenciales: aquí, $((d/dx)^2-1)e^{-|x-y|}=-2\delta_{x-y}$. Integración por partes muestra que $L=((d/dx)^2-1)$ es negativo (unbounded) simétrica operador en el sentido de que $\int Lf(x)\overline{f(x)}\,dx\le 0$. Por lo tanto, su inversa también es negativa definida, y $$ \int\int f(x)\,\overline{f(y)}\,L_x^{-1}\delta_{x-y}\;dx\,dy \;=\;\int\int L^{-1}f(x)\,\overline{f(y)}\,\delta_{x-y}\;dx\,dy \;=\; -2\int L^{-1}f(x)\,\overline{f(x)}\,dx \;\ge\; 0 $$ El operador $u\rightarrow u''-u$ puede ser sustituido por $Lu=u''-qu$$q>0$, por ejemplo, o cualquier Sturm-Liouville tipo de operador $(pu')'-qu$$p>0$$q>0$. Luego de la negativa de la función de Green para $L-c$ cualquier $c>0$ tendrá la misma positividad de la propiedad, por el mismo argumento. De orden superior de los operadores diferenciales lograr efectos similares.

Además, el pensamiento acerca de la dominación por la diagonal, dado un positivo simétrica núcleo construido como justo por encima, obviamente, perturbando por manifiestamente más pequeños granos no hace daño a la positividad. Desde el otro lado, en muchos de mayores dimensiones ejemplos, no tenemos que tener una función de Green, pero sólo un adecuado parametrix (positiva/negativa definitiva elíptica operador).

(Lo siento por anteriores comentarios tontos!)

Como @ABlumenthal notas, sin embargo, esto definitivamente no darle la topología usual en $L^1[0,1]$, ya que te dará una Hilbert-topología del espacio.