¿Cómo es que esta forma puede converger en lo que parece un triángulo pero tiene un perímetro diferente?

Question

Hace algún tiempo tuve esta extraña idea, y hace poco escribí una entrada de blog al respecto como una mera curiosidad. Realmente no lo considero una pregunta matemática "seria"; pero por interés, me preguntaba si alguien en este sitio podría arrojar algo de luz sobre lo que principio puede estar subyacente en la idea.

Básicamente, imaginé un "pseudotriángulo" formado por dos bordes rectos y un "borde" dentado (que no es realmente un borde ya que es irregular, pero lo llamo así de todos modos):

La forma anterior tiene 4 pasos, su zona es 10, y su perímetro es 16. Ahora aumentemos el número de pasos a 8:

Esta forma tiene un área de 9 y un perímetro de 16. Ahora, sin tener que escribir una prueba formal, creo que está bastante claro que a medida que aumenta el número de pasos, el área se acercará a 8, mientras que el perímetro se mantendrá constante en 16. Y el resultado es que la forma tiene un área de 9 y un perímetro de 16. Y la forma resultante será mira así:

En última instancia, no hay nada realmente "misterioso" en esto; la forma anterior es no un triángulo, por lo que no debería sorprender que no tenga las mismas propiedades que un triángulo. Sin embargo hace acercarse al mismo zona como un triángulo análogo; y, lo que es más, simplemente parece impar .

¿Existe algún concepto matemático que describa este fenómeno (a falta de una palabra mejor)? Es decir, el efecto de algún tipo de entidad matemática (por ejemplo, una forma) convergente a lo que se parece a otra entidad pero difiere de ella en un aspecto crítico y contraintuitivo (en este caso, tener un perímetro completamente distinto)?

Si parece que tengo problemas para articular esta pregunta, es porque los tengo. Pero espero que alguien me entienda y me aclare la cuestión.

Answer 1

La geometría abstracta no siempre coincide con la geometría intuitiva. Si te sorprende este triángulo, te sorprenderán mucho más los fractales con área finita y perímetro infinito, o los fractales con un número no entero (e irracional) como dimensión.

Answer 2

Una respuesta teórica de la medida geométrica a su pregunta podría ser la siguiente.

Tu ejemplo simplemente muestra cómo son las cosas en realidad... No hay nada extraño en él, ni en la noción "informal" de convergencia que has utilizado: en realidad, el problema sigue siendo el mismo, incluso cuando todas las nociones subyacentes están bien formalizadas.

El problema aquí es que el perímetro $\mathcal{P} (\cdot )$ es "sólo" un semicontinuo inferior funcional. Esto significa: si una secuencia de conjuntos $E_n$ converge a otro conjunto $E$ en algún sentido (por ejemplo, en el Métrica de Hausdorff que es una especie de convergencia uniforme para conjuntos, o en algunos $L^p$ métrico ), entonces sí:

(*) $\displaystyle \mathcal{P} (E)\leq \liminf_{n\to \infty} \mathcal{P}(E_n)$ ;

además, en general la desigualdad es estricta, incluso si la secuencia en el lado RH converge.

Un ejemplo menos problemático de este hecho básico del GMT es el siguiente. Sea:

$E_n:=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2|\ x^2+y^2<1\text{ and } |y|\geq \frac{1}{n} |x|\}$ ,

así que $E_n$ es el círculo abierto unitario con dos cortes simétricos (que cruzan el $x$ eje) eliminado y las rebanadas se hacen cada vez más finas a medida que $n$ aumentos. Tenga en cuenta que $E_n$ es una $C^1$ conjunto con un número finito de esquinas, es decir $5$ y este número no aumenta con $n$ (por el contrario, en su ejemplo el número de esquinas aumenta a medida que $n\to \infty$ ).

Entonces $E_n$ converge al círculo abierto unitario $D$ en el $L^1$ métrica: de hecho, la medida del conjunto de diferencias simétricas $D\Delta E_n$ tiende a $0$ como $n$ aumenta, es decir $\lVert \chi_D -\chi_{E_n}\rVert_1\to 0$ ; por otro lado, se tiene:

$\displaystyle \mathcal{P} (E_n)=4+ 2\left( \pi -2\arctan \tfrac{1}{n}\right)$

(el sumando $4$ aparece porque el límite $\partial E_n$ contiene cuatro radios de longitud $=1$ ) por lo tanto:

$\displaystyle \liminf_{n\to \infty} \mathcal{P}(E_n)=\lim_{n\to \infty} \mathcal{P} (E_n) =2\pi +4 >2\pi =\mathcal{P} (D)$ .

Por si sirve de algo, $E_n$ converge a $D$ también en la métrica de Hausdorff más fuerte, porque no es difícil demostrar que la distancia de Haudorff:

$\displaystyle \text{dist}_H(E_n,D):=\inf \{ \epsilon >0| E_n\subseteq (1+\epsilon)D \text{ and } D\subseteq E_n+\epsilon D\}$

viene dado por:

$\displaystyle \text{dist}_H(E_n,D) =2-\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$ ,

y $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \text{dist}_H(E_n,D) =0$ .

Si elige $E_n$ como en tu ejemplo, entonces tienes la misma situación: una secuencia de conjuntos que sí converge a un triángulo en algunas métricas (en particular, converge en ambas $L^1$ y métrica de Hausdorff) y para las que se cumple la desigualdad estricta en (*).

Answer 3

No es que realmente sepa nada al respecto, pero hay un concepto llamado varifold que he visto descrito vagamente como una variedad "infinitesimalmente ondulada". No sé cómo se definen rigurosamente las varifolds, pero al parecer surgen en el cálculo de variaciones cuando se buscan superficies de área mínima con un límite dado (como películas de jabón en un bucle de alambre). Puede ocurrir que una secuencia de superficies lisas converja en una superficie que se supone minimizadora, salvo que el objeto límite no sea liso, sino infinitamente arrugado. Esta idea se parece un poco a lo que tienes aquí; ¿el límite de tus líneas dentadas quizá no debería considerarse realmente como una línea recta normal, sino más bien como algún otro tipo de objeto (infinitamente dentado)?