Pregunta . Sea $(S(t))_{t \ge 0}$ sea un semigrupo continuo de operadores lineales sobre algún espacio de Banach $X$ . ¿Podría existir $f, g\in X$ y $0<t_0<t_1$ tal que \begin{equation}S(t_0)f=S(t_1)g\end{equation} but \begin{equation} S(t_0-\varepsilon_0)f\ne S(t_1-\varepsilon_1)g \end{equation} para todos $0<\varepsilon_0\le t_0$ y $0<\varepsilon_1\le t_1$ (en particular, $f\ne g$ )?
Pictóricamente, me pregunto si es posible la siguiente configuración:
Por supuesto, sabemos que, cuando la evolución viene dada por un grupo Esto no es posible: las órbitas coinciden o son disjuntas. Este es el caso de los sistemas autónomos de EDO o de la ecuación de Schrödinger. Pero aquí tenemos una semi grupo, como el del calor, que sólo va hacia adelante en el tiempo, no hacia atrás. Así que lo único evidente que podemos decir es que, en cuanto se tocan, las órbitas se funden en una sola. Pero en principio no veo por qué deberían coincidir en el pasado .
Añadido : Después de algunas búsquedas, he encontrado que para el caso especial de la ecuación del calor, la respuesta es negativo . Esto se conoce comúnmente como propiedad de unicidad hacia atrás . He aquí una versión simplificada, que tiene en cuenta las soluciones clásicas en dominios acotados:
Teorema (Tomado del libro de Evans sobre PDE, 2ª ed., pág. 64). $U\subset \mathbb{R}^n$ sea un dominio abierto y acotado. Supongamos que $u, \bar{u}$ son soluciones clásicas de \begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta u & \text{in }U\times(0, T) \\ u=0 &\text{on }\partial U \times [0, T] \end{cases} \end{equation} Si en el momento $T$ tenemos \begin{equation} u(x, T)=\bar{u}(x, T),\quad \forall x\in U, \end{equation} entonces $u\equiv \bar{u}$ en todo el cilindro parabólico $U\times (0, T]$ .
La propiedad se mantiene en entornos funcionales mucho más generales, como he leído aquí (busque la palabra clave la singularidad del pasado ).
Todo esto deja abierta la cuestión general. ¿Es cierta la propiedad de unicidad hacia atrás para todo ¿semigrupos lineales continuos? Supongo que la respuesta debe ser negativa, pues de lo contrario no se consideraría una característica especial de la ecuación del calor. Sin embargo, no encuentro un ejemplo explícito.
