Conectado, conectado localmente, trayectoria-conectado, pero no localmente trayectoria-conectado subespacio del plano

Question

Estoy buscando un conjunto en el plano (con respecto a los naturales de la topología Euclidiana) que está conectado, conectado localmente, trayectoria-conectado, pero no localmente trayectoria-conectado. Yo no la encontramos en Steen-Seebach, pero tal vez he pasado por alto?

Answer 1

Actualización: Este ejemplo es de páginas 184-185 de M. Shimrat, Simplemente disconnectible conjuntos, Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 9 (1959), 177-188.

Aquí es un ejemplo que vi en un viejo papel, tal vez a partir de la década de 1950. Lamentablemente, no conozco la referencia.

Vamos $S(a,b)$ ser el semicírculo cerrado en la mitad superior del plano-con los extremos de $(a,0)$ y $(b,0).$

Deje que $\mathcal P$ ser el más pequeño conjunto de pares ordenados de números reales tales que $(0,1)\in\mathcal P$ y, siempre que $(a,b)\in\mathcal P,$ tenemos $(\frac{a+nb}{n+1},\frac{a+(n+1)b}{n+2})\in\mathcal P$ para $n\in\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}.$

Para $a,b\in\mathbb R,\ a\lt b,$ vamos $$E(a,b)=\bigcup_{n\in\mathbb N}S(a,\frac{a+nb}{n+1}).$$ Entonces el conjunto $$X=\bigcup_{(a,b)\in\mathcal P}E(a,b)$$ es pathwise conectado y conectado localmente, pero no es localmente pathwise conectado.

Añadido por Gruñón Chirivía: Aquí está una foto de las dos primeras etapas. Espero que esto ahora es correcta: Y aquí está una foto que hice a mano alzada en Adobe illustrator para intentar capturar más de las etapas, e indican que el límite de los círculos no están en el conjunto. Las líneas punteadas indican que el límite no existe]2

Answer 2

Estoy publicando esta respuesta con el fin de mostrar que la excelente ejemplo dado por bof satisface las propiedades necesarias - es la ruta de acceso conectado y conectado localmente, pero no localmente ruta de acceso conectado. A ver que respuesta para la construcción del conjunto y para las parcelas de la misma.

Como yo no soy de agregar nuevos ejemplos de mi propia, voy a hacer esta respuesta wiki de la comunidad para que otros puedan editarlo.

Voy a empezar por la construcción del conjunto en forma ligeramente distinta a la que debe representar el árbol-como la naturaleza de la serie un poco mejor. Primero, un poco de notación. El uso de $\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$ para los enteros positivos, y $\mathbb{N}^*=\bigsqcup_{n=0}^\infty\mathbb{N}^n$ para la colección de secuencias finitas de números enteros positivos. Para cualquier $a=(a_1,\ldots,a_m)$, $b=(b_1,\ldots,b_n)$ en $\mathbb{N}^*$ y $k\in\mathbb{N}$, a continuación, voy a escribir $a\cdot k=(a_1,\ldots,a_m,k)$ $a\cdot b=(a_1,\ldots,a_m,b_1,\ldots,b_n)$. También podemos poner el orden lexicographic en $\mathbb{N}^*$, por lo que $a\le b$ ffi $j\le\min(m,n)$ con $a_i=b_i$ para todo $i < j$ y $a_j < b_j$ o si $m\le n$ y $a_i=b_i$ para todo $i\le m$.

Ahora, vamos a $\{x_a\}_{a\in\mathbb{N}^*}$ ser números reales con las siguientes propiedades

• Para cualquier $a\in\mathbb{N}^*$ luego $k\mapsto x_{a\cdot k}$ es estrictamente creciente secuencia estrictamente delimitada por debajo de $x_a$.
• Para cualquier $a=(a_1,\ldots,a_n)$ con $n\ge1$, entonces $x_{a\cdot k}\a x_{a^\prime}$ como $k\to\infty$, donde $a^\prime=(a_1,\ldots,a_{n-1},a_n+1)$.

Estas propiedades son el equivalente a decir que $a\mapsto x_a$ es estrictamente creciente y el orden-continua w.r.t. el lexicográfica del orden. Dejando $S(x,y)$ ser el semicírculo cerrado en la mitad superior del plano-con los extremos de $(x,0)$ y $(y,0)$, podemos definir el conjunto $$X=\bigcup_{a\in\mathbb{N}^*,k\in\mathbb{N}}S(x_a,x_{a\cdot k}).$$ Voy a utilizar $P_a$ para indicar el punto $(x_a,0)$, de modo que $X$ se cruza con el eje x, precisamente en los puntos $\{P_a\colon a\in\mathbb{N}^*\}$. Podemos demostrar que $X$ es el camino conectado y conectado localmente, pero no es localmente ruta de acceso conectado en los puntos $(x_a,0)$ cuando $a=(a_1,\ldots,a_n)$ con $n\ge1$ y $a_n\ge2$.

El siguiente ejemplo da el mismo conjunto $X$ como en bof la respuesta.

• $x_{()}=0$,
• $x_{(k)}=k/(k+1)$.
• $x_{a\cdot k}=(x_{a}+kx_{a^\prime})/(k+1)$ para todo $a=(a_1,\ldots,a_n)$ con $n\ge1$, $k\in\mathbb{N}$ y $a^\prime=(a_1,\ldots,a_{n-1},a_n+1)$.

Podemos probar las siguientes afirmaciones.

$X$ es el camino conectado.

Por definición, cada punto de $X$ es conectado a través de un arco de un semicírculo con un punto de $P_{(a_1,\ldots,a_n)}$. Este a su vez está conectada a $P_{(a_1,\ldots,a_{n-1})}$ por un arco semicircular y, la aplicación de esta inductivamente, vemos que cada punto de $X$ es conectado a $P_{()}$ por una secuencia de arcos de semicírculos.

Los semicírculos $S(x_a,x_{a\cdot k})$ menos de sus extremos ($P_a,P_{a\cdot k}$) son abiertos en $X$.

Esto debe quedar claro a partir de la trama de $X$ en bof la respuesta. Si $k > 1$, a continuación, se puede observar que la región acotada arriba por el arco semicircular $S(x_a,x_{a\cdot (k+1)})$ y por debajo por el semicírculo $S(x_a,x_{a\cdot(k-1)})$, $(x_{a\cdot(k-1)},x_{a\cdot k})$ y $(x_{a\cdot k},x_{a\cdot(k+1)})$ es un subconjunto abierto del plano de intersección de $X$ en $S(x_a,x_{a\cdot k})$ menos sus extremos. En el caso de que $k=1$, podemos obligado de la región, desde abajo, por el segmento de la línea de unirse a $P_a$ $P_{a\cdot k}$ y el semicírculo $S(x_{a\cdot k},x_{a\cdot(k+1)})$.

Vamos a $D$ ser un disco centrado en el eje de las x. Entonces $D\cap X$ es conectado.

Deje de $S$ ser un conjunto no vacío que se abre y cierra en $D\cap X$. Tenemos que mostrar que todo es de $D\cap X$. Tenga en cuenta que cada uno de los semicírculos de la definición de $X$ se cruza $D$ en un arco (es decir, conectado) reunión de uno de los puntos $P_a$, si se cruza en absoluto. Así, $P_a\in S$ $$. Sólo tenemos que demostrar que$$ S contiene todos los puntos $P_a$ que son en $D$. Te voy a mostrar que si $a\le b$, $P_a\in S$ y $P_b\D$ entonces $P_b\in S$. La aplicación de la misma norma para el complemento de $S$ mostrará que también se aplica a $a \ge b$, lo que da el resultado.

Si $P_a\in S$ y $P_{a\cdot k}\D$ el semicírculo de unirse a $P_a$ $P_{a\cdot k}$ se encuentra en $D\cap X$, entonces $P_{a\cdot k}\in S$. A continuación, si $a= (a_1,\ldots,a_n)$ tiene $n\ge1$ y $a^\prime=(a_1,\ldots,a_n+1)$ satisface $P_{a^\prime}\D$ entonces $P_{a^\prime}=\lim_{k\to\infty}P_{a\cdot k}\in S$. Inductivamente de la aplicación de este da $P_{(a_1,\ldots,a_n+k)}\in S$ cuando es de $D$.

Ahora considere $a=(a_1,\ldots,a_m)$ y $b=(b_1,\ldots,b_n)$ con $a\le b$, $P_a\in S$ y $P_b\D\cap X$. Si $m\le n$ y $a_i=b_i$ por $i\le m$ tenemos $P_{(b_1,\ldots,b_m)}=P_a\in S$. Con la anterior, podemos inductivamente aplicar $P_{(b_1,\ldots,b_{m+1})}=P_{(b_1,\ldots,b_m)\cdot b_{m+1}}\in S$. a ver que $P_b\in S$.

Por último, considere el caso donde por unos $j\le\min(m,n)$ tenemos $a_i=b_i$ para todo $i < j$ y $a_j < b_j$. A partir de lo que hemos demostrado anteriormente, $$P_{(a_1,\dots,a_{m-1}+1)}=\lim_{k\to\infty}P_{(a_1,\dots,a_{m-1},a_m+k)}\in S.$$ Inductivamente de la aplicación de este da $P_{(a_1,\ldots,a_{j-1},a_j+1)}\in S$. Entonces, como $b_j=a_j+1+k$ $k\ge0$, aplicando lo que hemos mostrado anteriormente da $P_{(b_1,\ldots,b_j)}\in S$. Luego, utilizando el primer caso, tenemos un total de $P_b\in S$.

$X$ es conectado localmente

Cada punto de X dólares$no en el eje x se encuentra en uno de los semicírculos$S(x_a,x_{a\cdot k})$menos de sus extremos, que nos han mostrado para ser abierto en$X$. Así que$X$es localmente (ruta de acceso) conectado de distancia desde el eje de las x. Siguiente, cualquier punto sobre el eje x tiene una base de conectado barrios tomando el abierto de discos centrada en el punto cruzaba con la de$X$.

Para cualquier $a=(a_1,\ldots,a_n)$ con $n\ge1$ y $a_n \ge 2$, $$ X no es localmente ruta de acceso conectado a $P_a$.

Esto queda por añadir...

Answer 3

He aquí un ejemplo en $\mathbb{R}^3$. La construcción no se adapta a el avión, y no sé si existen ejemplos en $\mathbb{R}^2$.

Comience por dejar que $A\subseteq\mathbb{R}^2$ estar conectado, conectado localmente y no localmente ruta de acceso conectado. Por ejemplo, ver mi respuesta en mathoverflow para un ejemplo en el que $A$ es totalmente ruta de acceso desconectado (es decir, cada continuas $f\colon\mathbb{R}\$ es constante), por lo que no tiene ruta de acceso conectado subconjuntos distintos de puntos individuales.

A continuación, $$X = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon (y,z)\in{\rm\ o\ }x=0\right\}$$ está conectado, conectado localmente, ruta de acceso conectado pero no localmente ruta de acceso conectado.

Para ver esto, conjunto $$\begin{align} Y &= \mathbb{R}\times A = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon (y,z)\in A\right\},\\ Z&=\{0\}\times\mathbb{R}^2=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon x=0\right\} \end{align}$$ de modo que $X=Y\taza de Z$. Entonces, $Y$ es conectado localmente, como $\mathbb{R}$ y $Un$ satisfacer estas propiedades. Así que $X$ es conectado localmente lejos de los $Z$. Además, tenemos una deformación de retracción de $X$ a $Z$ $F((x,y,z),t)=(tx,y,z)$, entonces $X$ es contráctiles y, por lo tanto, la ruta de acceso conectado. La restricción de un barrio de cualquier punto en $Z$, esto también muestra que $X$ es localmente contráctiles en todos los puntos de a $Z$, entonces $X$ es conectado localmente. Sin embargo, si $a$ no es localmente ruta de acceso conectado en un punto $p\in A$, entonces $X$ no puede ser la ruta de acceso conectado sobre cualquier punto $(x,p)\in X$ para todo $x\=0$.