Longitud del arco de la función logarítmica

Question

Necesito encontrar la longitud de $y = \ln(x)$ (logaritmo natural) de $x=\sqrt3$ a $x=\sqrt8$ .

Así que, si no me equivoco, la longitud debería ser $$\int^\sqrt8_\sqrt3\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx$$ Tengo problemas para calcular la integral. He intentado hacer la sustitución, pero sigo sin encontrar la forma de integrarla. Esto es lo que he hecho hasta ahora: $$\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=u-\frac{1}{x}$$ $$x=\frac{2u}{u-1}$$ $$dx=\frac{2}{(u-1)^2}du$$ $$\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=u-\frac{1}{x}=u-\frac{1}{2}+\frac{1}{2u}$$ $$\int\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx=2\int\frac{u-\frac{1}{2}+\frac{1}{2u}}{(u-1)^2}du$$ Y estoy atascado.

Answer 1

Utilice $x=\tan\theta$ . O, si está familiarizado con las funciones hiperbólicas, utilice $x=\sinh t$ .

Una sustitución algo menos común que funciona bien es $x=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$ . Entonces $\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$ .

Answer 2

Lo estás haciendo bien, ahora divide esto en tres integrales; una por fracciones parciales.

Answer 3

$\int^{\sqrt{8}}_{\sqrt{3}}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}dx$ = $\int^{\sqrt{8}}_{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}dx$ = $\int^{\sqrt{8}}_{\sqrt{3}}\frac{1+x^{2}}{x\sqrt{1+x^{2}}}$ = $\int^{\sqrt{8}}_{\sqrt{3}}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$ + + $\int^{\sqrt{8}}_{\sqrt{3}}\frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}}dx$ = $=\frac{1}{2}\int^{\sqrt{8}}_{\sqrt{3}}\frac{(1+x^{2})'}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$ $-\int^{\sqrt{8}}_{\sqrt{3}}\frac{(\frac{1}{x})'}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}dx =$ $\sqrt{1+x^{2}}|^{\sqrt{8}}_{\sqrt{3}}-ln(\frac{1}{x}+ \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}})$ $|^{\sqrt{8}}_{\sqrt{3}}$ $=1+\frac{1}{2}$$ ln \frac {3}{2}$