¿Hay alguna respuesta a esta pregunta en torno a la teoría básica de la diferenciable colectores?
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Nir
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Cada una de cerrado suave hipersuperficie $X\subset \mathbb R^n$ (=submanifold de dimensión $n-1$), pacto o no, tiene una ecuación, es decir, $X=f^{-1}(0)$ para algunos liso $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ satisfacción $df(x)\neq0$ todos los $x\in X$.
En particular, $X$ es orientable para que $\mathbb P^2(\mathbb R) $, que no es orientable, no puede ser embebido en $\mathbb R^3$
(No) bibliografía
El hecho de que cada cerrados hipersuperficie en $\mathbb R^n$ tiene una ecuación es, lamentablemente, no resultó ni siquiera se menciona en ningún libro que yo sé sobre el diferencial de colectores o la geometría diferencial.
Sin embargo, es algo elemental y depende de los métodos desarrollados hace más de 60 años en análisis complejo : me escribió una prueba aquí. (Ver también allí, donde sólo orientability de hypersurfaces está probado.)
PVAL
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4296
El Stiefel-Whitney clase de $\Bbb RP^2$ $(1+a)^3=a^2+a+1 \in H^*(\Bbb RP^2,\Bbb Z/2)$ donde $a$ es el único elemento distinto de cero en $H^1$. El inverso de este elemento en $H^*(\Bbb RP^2,\Bbb Z/2)$$1+a$. Como la parte superior Stiefel-Whitney clase de la normal de paquete de una incrustación en $\Bbb R^n$ se desvanece (c.f. Milnor-Stasheff Cor. 11.4) $1+a$ no es el Stiefel-Whitney clase de la normal bundle para una incrustación en $\Bbb R^3$, por lo tanto no hay ninguna incrustación $\Bbb RP^2\rightarrow \Bbb R^3$. La teoría de la característica de clases nos da numerosos obstáculos para incrustaciones, inmersiones, cobordisms y otros similares construcciones geométricas. Un lugar para comenzar es el Milnor-Stasheff libro Característico de las Clases citadas en esta respuesta.
El argumento anterior fácilmente se generaliza para mostrar $\Bbb RP^{2^n}$ no incrusta en $\Bbb R^{2^{n+1}-1}$, por lo tanto la desigualdad en el fuerte Whitney incrustación es el teorema de sharp para las dimensiones arbitrariamente grande.
notpeter
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588
La solución más sencilla es a través de la dualidad de Alexander, que muestra inmediatamente que cada superficie en $S^3$, en particular en $\mathbb{R}^3$, es orientable.
